Question

【題目】已知二次函數(shù)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為a，且不等式f（x）+2x＞0的解集為（1，3）．
（1）若方程f（x）+6a=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）的最大值為正數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意可設(shè)f（x）+2x=a（x﹣1）（x﹣3）

即a（x﹣1）（x﹣3）＞0的解集為（1，3）

∴a＜0，f（x）=ax2﹣2（2a+1）x+3a

又方程f（x）+6a=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，

∴ax2﹣2（2a+1）+9a=0有兩相等實(shí)根

∴△=4（2a+1）2﹣36a2=0

∴ （a=1舍去）

（2）解： ＞0

∵a＜0

∴a2+4a+1＞0

故

【解析】（1）若方程f（x）+6a=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，結(jié)合不等式的解集，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可求f（x）的解析式；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減．