Question

求證1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=

1

3

n(n+1)(n+2)．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是數(shù)學(xué)歸納法，要證明1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=

1

3

n(n+1)(n+2)成立，我們要先證明n=1時，等式成立，再假設(shè)n=k時，等式成立，進而求證n=k+1時，等式成立．

解答：證明：①當n=1時，左邊=2，右邊=

1

3

×1×2×3=2，等式成立；
②假設(shè)當n=k時，等式成立，
即1×2+2×3+3×4+…+k(k+1)=

1

3

k(k+1)(k+2)
則當n=k+1時，
左邊=

1

3

k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)=（k+1）（k+2）（

1

3

k+1）=

1

3

（k+1）（k+2）（k+3）
即n=k+1時，等式也成立．
所以1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=

1

3

n(n+1)(n+2)對任意正整數(shù)都成立．

點評：數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若 P（n）在n=1時成立； 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立．