Question

已知拋物線y=

3

3

x²+

2 3

3

x-

3

與x軸相交于A，B兩點（點B在點A的右側(cè)），與y軸相交于點C．
（1）求證：△ABC為直角三角形；
（2）在拋物線的對稱軸上，是否存在點M，使△BCM為等腰三角形？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，若△OBC沿x軸以每秒1個單位向左平移，當(dāng)點C正好移動到拋物線上時，停止移動，求移動過程中△OBC和△AOC重疊部分的面積S與時間t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）把拋物線向上平移

2 3

3

個單位，然后再向右平移m個單位，若平移后拋物線的頂點恰好在△ABC內(nèi)部，請直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

考點：拋物線的應(yīng)用

專題：計算題,作圖題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意寫出A（-3，0）；B（1，0），C（0，-

3

）；從而證明斜率之積為-1即可；
（2）觀察可知點M（-1，0）；
（3）由拋物線的對稱軸為x=-1；C（0，-

3

）；故點C正好移動到點（-2，-

3

）時停止移動；故t≤2，分0≤t≤1，與1≤t≤2討論；
（4）按平移過程找到平移后的頂點，從而解得．

解答： 解：（1）證明：y=

3

3

x²+

2 3

3

x-

3

=

3

3

（x+3）（x-1）；
故A（-3，0）；B（1，0），C（0，-

3

）；
則K_AC•K_BC=

- 3

3

•

- 3

-1

=-1；
故∠ACB=90°，
故△ABC為直角三角形；
（2）如右圖，拋物線的對稱軸為x=-1；
故易知當(dāng)M（-1，0）時，
△BCM為等邊三角形，
故M（-1，0）；
（3）∵拋物線的對稱軸為x=-1；C（0，-

3

）；
故點C正好移動到點（-2，-

3

）時停止移動；
①當(dāng)0≤t≤1時，
S=

1

2

×1×

3

-

1

2

×（1-t）×

3

×（1-t）-

1

2

×（

3

-

3

3-t

3

）×sin30°×（

3

-

3

3-t

3

）×cos30°
=

3 t(24-13t)

24

；
當(dāng)1＜t≤2時，
S=

1

2

×1×

3

-

1

2

×（

3

-

3

3-t

3

）×sin30°×（

3

-

3

3-t

3

）×cos30°
=

3

24

（12-t²）；
故S=

3 t(24-13t) 24 ，0≤t≤1 3 24 (12-t2)，1＜t≤2

；
（4）原拋物線的頂點為（-1，-

4 3

3

），向上平移

2 3

3

個單位后得（-1，-

2 3

3

），然后再向右平移m個單位后得（-1+m，-

2 3

3

），
由

2 3 3

3

=

1-x

1

得，x=

1

3

；
故-1+m＜

1

3

，
故m＜

4

3

；
故0＜m＜

4

3

．

點評：本題考查了圓錐曲線的應(yīng)用，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于難題．