Question

給出下列結(jié)論：
動點(diǎn)M（x，y）分別到兩定點(diǎn)（-3，0）、（3，0）連線的斜率之乘積為

16

9

，設(shè)M（x，y）的軌跡為曲線C，F(xiàn)₁、F₂分別為曲線C的左、右焦點(diǎn)，則下列命題中：
（1）曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-5，0）、F₂（5，0）；
（2）若∠F₁MF₂=90°，則S △F1MF2=32；
（3）當(dāng)x＜0時，△F₁MF₂的內(nèi)切圓圓心在直線x=-3上；
（4）設(shè)A（6，1），則|MA|+|MF₂|的最小值為2

2

；
其中正確命題的序號是：

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,簡易邏輯

分析：由題意可得：

y

x+3

×

y

x-3

=

16

9

，化為

x2

9

-

y2

16

=1（x≠±3）．
（1）由曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程可得c=

9+16

=5，即可得出曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)|F₁M|=m，|F₁M|=n，m＞n，由于∠F₁MF₂=90°，可得

m2+n2=102 m-n=2×3

，

1

2

mn=16；
（3）設(shè)A為內(nèi)切圓與x軸的切點(diǎn)，由于|F₂M|-|F₁M|=|F₂A|-|F₁A|=2a=6，|F₂A|+|F₁A|=2c=10，可得|F₂A|=8，|F₁A|=2，解得x_A，即可判斷出；
（4）不妨設(shè)點(diǎn)M在雙曲線的右支上，根據(jù)定義可得|MF₁|-|MF₂|=2a=6，可得|MA|+|MF₂|=|MA|+|MF₁|-6，當(dāng)A、M、F₁三點(diǎn)共線時，|MA|+|MF₂|的最小值為|AF₁|-6．

解答： 解：由題意可得：

y

x+3

×

y

x-3

=

16

9

，化為

x2

9

-

y2

16

=1（x≠±3）．
（1）由曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程可得c=

9+16

=5，∴曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-5，0）、F₂（5，0），正確；
（2）設(shè)|F₁M|=m，|F₁M|=n，m＞n，∵∠F₁MF₂=90°，∴

m2+n2=102 m-n=2×3

，∴S △F1MF2=

1

2

mn=16；
（3）設(shè)A為內(nèi)切圓與x軸的切點(diǎn)，∵|F₂M|-|F₁M|=|F₂A|-|F₁A|=2a=6，|F₂A|+|F₁A|=2c=10，∴|F₂A|=8，|F₁A|=2，∴5-x_A=8，解得x_A=-3．設(shè)圓心P，則PO⊥x軸，從而可得圓心在直線x=-3上，因此正確；
（4）不妨設(shè)點(diǎn)M在雙曲線的右支上，∵|MF₁|-|MF₂|=2a=6，∴|MA|+|MF₂|=|MA|+|MF₁|-6，當(dāng)A、M、F₁三點(diǎn)共線時，|MA|+|MF₂|的最小值為|AF₁|-6=

122

-6．因此不正確．
綜上可得：正確命題的序號是（1）（3）．
故答案為：（1）（3）．

點(diǎn)評：本題考查了雙曲線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)、斜率計算公式，考查了轉(zhuǎn)化能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．