Question

已知A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）（0＜α＜π）．
（1）若|

OA

+

OC

|=

7

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求

OB

與

OC

的夾角；
（2）若

AC

⊥

BC

，求tanα的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由

OA

+

OC

=（2+cosα，sinα），利用向量模的計算公式可得（2+cosα）²+sin²α=7，化簡整理可得cosα=

1

2

，又0＜α＜π，即可解得α．設(shè)

OB

與

OC

的夾角為θ，θ∈[0，π]．利用向量夾角公式即可得出．
（2）

AC

⊥

BC

，可得

AC

•

BC

=0，cosα+sinα=

1

2

，又sin²α+cos²α=1，聯(lián)立解得即可．

解答： 解：（1）由

OA

+

OC

=（2+cosα，sinα），|

OA

+

OC

|=

7

，
∴（2+cosα）²+sin²α=7，
∴4+4cosα+cos²α+sin²α=7，
化為cosα=

1

2

，
又0＜α＜π，解得α=

π

3

．
∴

OC

=(

1

2

，

3

2

)，設(shè)

OB

與

OC

的夾角為θ，θ∈[0，π]．
則cosθ=

OB • OC

| OB || OC |

=

3

2

，
∴θ=

π

6

．即

OB

與

OC

的夾角為

π

6

．
（2）∵

AC

=（cosα-2，sinα），

BC

=（cosα，sinα-2）．
∵

AC

⊥

BC

，
∴

AC

•

BC

=cosα（cosα-2）+sinα（sinα-2）=1-2cosα-2sinα=0，
∴cosα+sinα=

1

2

，
又sin²α+cos²α=1，
∵0＜α＜π，
聯(lián)立解得sinα=

1+ 7

4

，cosα=

1- 7

4

．
∴tanα=

sinα

cosα

=

1+ 7

1- 7

=-

4+ 7

3

．

點(diǎn)評：本題考查了向量模的計算公式、向量夾角公式、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．