Question

已知函數f（x）對其定義域內任意兩個實數a，b，當a＜b時，都有f（a）＜f（b）．試用反證法證明：函數f（x）的圖象與x軸至多有一個交點．

Answer 1

分析：（1）若f（x）的圖象與x軸有兩個交點，不妨設兩個交點的橫坐標分別為x₁，x₂，且x₁＜x₂ ，由已知可得f（x₁）＜f（x₂）．再由函數的零點的定義可得f（x₁）=f（x₂）=0，
這與f（x₁）＜f（x₂）矛盾，所以，函數f（x）的圖象不可能與x軸有兩個交點．（2）若f（x）的圖象與x軸交點多于兩個，可同理推出矛盾，綜合可得函數f（x）的圖象
不可能與x軸有兩個以上交點．

解答：證明：假設函數f（x）的圖象與x軸至少有兩個交點，…（2分）
（1）若f（x）的圖象與x軸有兩個交點，不妨設兩個交點的橫坐標分別為x₁，x₂，且x₁＜x₂ ，…（5分）
由已知，函數f（x）對其定義域內任意實數x₁，x₂，當x₁＜x₂時，有f（x₁）＜f（x₂）．…（7分）
又根據假設，x₁，x₂是函數f（x）的兩個零點，所以，f（x₁）=f（x₂）=0，…（9分）
這與f（x₁）＜f（x₂）矛盾，…（10分）
所以，函數f（x）的圖象不可能與x軸有兩個交點．…（11分）
（2）若f（x）的圖象與x軸交點多于兩個，可同理推出矛盾，…（12分）
所以，函數f（x）的圖象不可能與x軸有兩個以上交點．
綜上，函數f（x）的圖象與x軸至多有一個交點…（14分）

點評：本題主要考查用反證法證明數學命題，推出矛盾，是解題的關鍵，屬于中檔題．