Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知S_n=2a_n-3n（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）問數列{a_n}中是否存在某三項，它們可以構成一個等差數列？若存在，請求出一組適合條件的項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由a₁=S₁=2a₁-3可求a₁，當n≥2時，由

Sn=2an-3n Sn-1=2an-1-3(n-1)

，兩式相減可得a_n=2a_n-1+3，利用構造等比數列可求
（2）由（1）知a_n+3=6×2ⁿa_n=3（2ⁿ-1），假設存在某三項，不妨設a_x，a_y，a_z成等差數列，其中x＜y＜z，x，y，z為正整數則a_x+a_z=2a_y，即2^x+2^z=2×2^y，從而可判斷x，y，z是否存在

解答：解：（1）當n=1時，a₁=S₁=2a₁-3，所以a₁=3
當n≥2時，由

Sn=2an-3n Sn-1=2an-1-3(n-1)

，兩式相減可得a_n=2a_n-2a_n-1-3
即a_n=2a_n-1+3，所以a_n+3=2（a_n-1+3），又a₁+3=6
所以數列{a_n+3}是以6為首項，2為公比的等比數列
（2）由（1）知a_n+3=6×2ⁿ
∴a_n=3•2ⁿ-3
假設存在某三項，不妨設a_x，a_y，a_z成等差數列，其中x＜y＜z，x，y，z為正正數
則a_x+a_z=2a_y
即3×（2^x-1）+3×（2^z-1）=2×3×（2^y-1）
2^x+2^z=2×2^y
等式兩邊同除以2^y，得2^x-y+2^z-y=2…（11分）
因為x-y＜0，z-y≥1，所以0＜2^x-y＜1，2^z-y≥2…（13分）
所以2^x-y+2^z-y＞2，這與2^x-y+2^z-y=2矛盾、
假設不存在，故數列{a_n}中不存在某三項，使它們可以構成一個等差數列、…（14分）

點評：本題主要考查了利用遞推公式求解數列的通項公式，等比數列的通項公式，等差中項的應用，屬于知識的簡單綜合應用．