Question

以坐標原點為極點，以x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的參數(shù)方程為

x= 2 cost y= 2 sint

（t為參數(shù)）．
（1）曲線C在點（1，1）處的切線為l，求l的極坐標方程；
（2）點A的極坐標為（2

2

，

π

4

），且當(dāng)參數(shù)t∈[0，π]時，過點A的直線m與曲線C有兩個不同的交點，試求直線m的斜率的取值范圍．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）化簡參數(shù)方程為普通方程，判斷曲線C與點（1，1）的位置關(guān)系，求出切線的普通方程，然后化為l的極坐標方程；
（2）設(shè)出夠點A的極坐標為（2

2

，

π

4

），參數(shù)t∈[0，π]時的直線方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系，通過相切，求直線m的斜率的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）

x= 2 cost y= 2 sint

，∴x²+y²=2，
點C（1，1）在圓上，
故切線l方程為x+y=2…（2分）
∴ρsinθ+ρcosθ=2，
切線l的極坐標方程：ρsin(θ+

π

4

)=

2

…（5分）
（Ⅱ）y=k（x-2）+2與半圓x²+y²=2（y≥0）相切時 

|2k-2|

1+k2

=

2

∴k²-4k+1=0，∴k=2-

3

，k=2+

3

（舍去）…．（8分）
設(shè)點B（-

2

，0），K_AB=

2-0

2+ 2

=2-

2

，
故直線m的斜率的取值范圍為（2-

3

，2-

2

]．…（10分）

點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，極坐標方程以及參數(shù)方程的求法與應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．