Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（2x+1）-log_a（1-2x）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并給予證明；
（2）若函數(shù)y=f（x）與y=m-log_a（2-4x）的圖象有且僅有一個公共點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,對數(shù)的運算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）首先求出定義域，然后利用定義判斷奇偶性；
（2）函數(shù)y=f（x）與y=m-log_a（2-4x）的圖象有且僅有一個公共點?方程log_a

2x+1

1-2x

=m-log_a（2-4x）
在區(qū)間x∈（-

1

2

，

1

2

）上有且僅有一個實數(shù)解，討論a的范圍，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求m 范圍．

解答： 解：（1）f（x）的定義域為（-

1

2

，

1

2

），關(guān)于原點對稱，
f（x）+f（-x）=log_a

2x+1

1-2x

+log_a

-2x+1

1+2x

=log_a1=0，所以f（-x）=-f（x），
所以f（x）是奇函數(shù)…（5分）
（2）函數(shù)y=f（x）與y=m-log_a（2-4x）的圖象有且僅有一個公共點?方程log_a

2x+1

1-2x

=m-log_a（2-4x）
在區(qū)間x∈（-

1

2

，

1

2

）上有且僅有一個實數(shù)解，
m=log_a

2x+1

1-2x

+log_a2（1-2x）=log_a（4x+2）…（7分）
因為x∈（-

1

2

，

1

2

），所以0＜4x+2＜4
所以log_a（4x+2）∈（-∞，log_a4）或（log_a4，+∞）
∴當a＞1時，m∈（-∞，log_a4），
當0＜a＜1時，m∈（log_a4，+∞）…（12分）

點評：本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷以及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的運用，屬于中檔題．