【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.(注)
(2)設(shè),若函數(shù)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),,證明:.
【答案】(1)(2)見證明
【解析】
(1)將a分離,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究的圖像,得到a的范圍.
(2)由已知,求其導(dǎo)函數(shù),由x1,x2是g(x)的兩個(gè)不同極值點(diǎn),可得a>0,結(jié)合g′(x1)=0,g′(x2)=0得到,進(jìn)一步得到,把問題轉(zhuǎn)化為證明,將其變形后整體換元構(gòu)造函數(shù).再利用導(dǎo)數(shù)證明>0得答案.
(1)時(shí),由得,
令
∴時(shí),,
時(shí),,
∴在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).
又,,
,
∴,∴h(x)的大致圖像:
利用與的圖像知.
(2)由已知,∴,
因?yàn)?/span>,是函數(shù)的兩個(gè)不同極值點(diǎn)(不妨設(shè)),
易知(若,則函數(shù)沒有或只有一個(gè)極值點(diǎn),與已知矛盾),
且,.所以,.
兩式相減得,
于是要證明,即證明,兩邊同除以,
即證,即證,
即證,
令,.即證不等式,當(dāng)時(shí)恒成立.
設(shè),則 .
設(shè),則,
當(dāng)時(shí),,
單調(diào)遞減,所以,即,所以,
所以在時(shí)是減函數(shù).故在處取得最小值.
所以得證.所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是拋物線上一點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)),直線、分別交直線于點(diǎn)、.
(1)求拋物線方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求證:以為直徑的圓恰好經(jīng)過原點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場舉行購物抽獎(jiǎng)活動(dòng),抽獎(jiǎng)箱中放有編號(hào)分別為的五個(gè)小球.小球除編號(hào)不同外,其余均相同.活動(dòng)規(guī)則如下:從抽獎(jiǎng)箱中隨機(jī)抽取一球,若抽到的小球編號(hào)為,則獲得獎(jiǎng)金元;若抽到的小球編號(hào)為偶數(shù),則獲得獎(jiǎng)金元;若抽到其余編號(hào)的小球,則不中獎(jiǎng).現(xiàn)某顧客依次有放回的抽獎(jiǎng)兩次.
(1)求該顧客兩次抽獎(jiǎng)后都沒有中獎(jiǎng)的概率;
(2)求該顧客兩次抽獎(jiǎng)后獲得獎(jiǎng)金之和為元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以橢圓:的中心為圓心,為半徑的圓稱為該橢圓的“準(zhǔn)圓”,設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為,左焦點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為,且滿足,.
(1)求橢圓及其“準(zhǔn)圓"的方程;
(2)若過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),試求直線交“準(zhǔn)圓”所得的弦長;
(3)射線與橢圓的“準(zhǔn)圓”交于點(diǎn),若過點(diǎn)的直線,與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn),且與橢圓的“準(zhǔn)圓”分別交于,兩點(diǎn),試問弦是否為”準(zhǔn)圓”的直徑?若是,請給出證明:若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比數(shù)列,若a1=1,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則的最小值為( 。
A.4B.3C.D.2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=ax2+(1-a)x+a-3.
(1)若不等式f(x)≥-3對一切實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)解關(guān)于x的不等式f(x)<a-2(a∈R).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為: ,直線的參數(shù)方程是(為參數(shù), ).
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn),且線段的中點(diǎn)為,求.
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