Question

10．已知點A（0，2），拋物線C：y²=mx（m＞0）的焦點為F，射線FA與拋物線C相交于點M，與其準線相交于點N，若|FM|：|MN|=1：$\sqrt{5}$，則三角形OFN的面積為（　�。�

• A． 2
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 4
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 作出M在準線上的射影K，根據(jù)|KM|：|MN|確定|KN|：|KM|的值，進而列方程求得m，再由三角形的面積公式，計算即可得到所求值．

解答 解：拋物線C：y²=mx的焦點F（$\frac{m}{4}$，0）
設M在準線上的射影為K，
由拋物線的定義知|MF|=|MK|，
由|FM|：|MN|=1：$\sqrt{5}$，可得|KM|：|MN|=1：$\sqrt{5}$，
則|KN|：|KM|=2：1，
k_FN=$\frac{0-2}{\frac{m}{4}-0}$=-$\frac{8}{m}$，
又k_FN=-$\frac{|KN|}{|KM|}$=-2
即有$\frac{8}{m}$=2，求得m=4，
則三角形OFN的面積為$\frac{1}{2}$•y_N•|OF|=$\frac{1}{2}$×4×1=2．
故選：A．

點評 本題主要考查了拋物線的簡單性質．拋物線中涉及焦半徑的問題常利用拋物線的定義轉化為點到準線的距離來解決．