已知的導(dǎo)函數(shù)，且，設(shè)，
且．
（Ⅰ）討論在區(qū)間上的單調(diào)性；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）求證：．

減 ， 和增 ；（2）（3）詳見解析

解析試題分析：（Ⅰ）利用 的導(dǎo)函數(shù)找到原函數(shù)即可研究 的單調(diào)性, （Ⅱ）把證明不等式轉(zhuǎn)化為證明不等式 ,然后通過求導(dǎo)研究函數(shù)的值域, （Ⅲ）難點(diǎn)①轉(zhuǎn)化，②注意運(yùn)用第（Ⅱ）問產(chǎn)生的新結(jié)論.導(dǎo)致③放縮后進(jìn)行數(shù)列求和.
試題解析：（Ⅰ）由 且 得. 定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e8/1/1k6yl2.png" style="vertical-align:middle;" /> 
 
令 ,得 或  
當(dāng) 時(shí),由,得 ;由 ,得,或
 在 上單調(diào)遞減,在 和 上單調(diào)遞增.
當(dāng) 時(shí), 由,得 ;由 ,得,
 在 上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
（Ⅱ）設(shè) ,令 ,得, ,得,
 在 上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
 在 處有極大值,即最大值0, 同理可證 , 即 
（Ⅲ）由（2）知，

又

即當(dāng)時(shí)取等號(hào).
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),數(shù)列求和及不等式中的放縮法的運(yùn)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
（Ⅲ）求證：（，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
提示：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知在處取得極值。
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意？若存在，求的所有值；若不存在，說明理由。

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已知函數(shù).
(1) 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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已知函數(shù),點(diǎn)為一定點(diǎn),直線分別與函數(shù)的圖象和軸交于點(diǎn),,記的面積為.
（I）當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（II）當(dāng)時(shí), 若,使得, 求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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已知.
（1）求的極值，并證明：若有；
（2）設(shè)，且，，證明：，
若，由上述結(jié)論猜想一個(gè)一般性結(jié)論（不需要證明）；
（3）證明：若，則.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意R，存在R，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù)(其中).
(Ⅰ) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求在區(qū)間上的最值

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