Question

【題目】已知雙曲線（b＞a＞0），O為坐標原點，離心率，點在雙曲線上.

（1）求雙曲線的方程；

（2）若直線與雙曲線交于P、Q兩點，且.求|OP|2+|OQ|2的最小值.

Answer 1

【答案】1 ；2.

【解析】試題分析：

(Ⅰ) 由，可得，故雙曲線方程為，代入點的坐標可得，由此可得雙曲線方程． (Ⅱ)根據直線的斜率存在與否分兩種情況求解．當斜率存在時，可根據一元二次方程根與系數的關系及兩點間的距離公式求解即可．當斜率不存在時直接計算可得結果．

試題解析：

（1）由，可得，

∴，

∴ 雙曲線方程為，

∵ 點在雙曲線上，

∴，

解得 ，

∴ 雙曲線的方程為．

（2）①當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

由消去y整理得，

∵直線與雙曲線交于兩點，

∴．

設，，

則，

由得到：，

即，

∴，

化簡得．

∴，

當時上式取等號，且方程（*）有解．

②當直線的斜率不存在時，設直線的方程為，則有，

由可得，

可得，解得.

∴．

∴ ．

綜上可得的最小值是24．