已知m,n為正整數(shù),
(1)證明:當(dāng)x>-1時,(1+x)m≥1+mx;
(2)對于n≥6,已知,求證,m=1,2,3,…,n;
(3)求出滿足等式3n+4n+…+(n+2)n=(n+3)n的所有正整數(shù)n。
解:(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明:
(i)當(dāng)時,原不等式成立;當(dāng)時,左邊,右邊
因為
所以左邊右邊,原不等式成立;
(ii)假設(shè)當(dāng)時,不等式成立,即,則當(dāng)


于是在不等式兩邊同乘以1+x得
所以
即當(dāng)時,不等式也成立
綜合(i)(ii)知,對一切正整數(shù)m,不等式都成立;
(2)當(dāng)時,由(1)得:(令易得
于是,m=1,2,3,…,n;
(3)由(2)知,當(dāng)



即當(dāng)時,不存在滿足該等式的正整數(shù)n
故只需要討論n=1,2,3,4,5的情形
當(dāng)時,,等式不成立
當(dāng)n=2時,,等式成立;
當(dāng)n=3時,,等式成立;
當(dāng)n=4時,為偶數(shù),為奇數(shù),故,等式不成立;
當(dāng)n=5時,同的情形可分析出,等式不成立
綜上,所求的n只有2,3。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知m,n為正整數(shù).
(Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)x>-1時,(1+x)m≥1+mx;
(Ⅱ)對于n≥6,已知(1-
1
n+3
)n
1
2
,求證(1-
m
n+3
)n<(
1
2
)m
,m=1,2…,n;
(Ⅲ)求出滿足等式3n+4n+5n+…+(n+2)n=(n+3)n的所有正整數(shù)n.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知m,n為正整數(shù),3m+n=20,則m>n的概率為
1
6
1
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(湖北理21)(本小題滿分14分)

已知m,n為正整數(shù).

(Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)x>-1時,(1+x)m≥1+mx

(Ⅱ)對于n≥6,已知,求證,m=1,1,2…,n;

(Ⅲ)求出滿足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整數(shù)n.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年安徽省蚌埠市懷遠(yuǎn)一中高三(下)第六次月考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知m,n為正整數(shù).
(Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)x>-1時,(1+x)m≥1+mx;
(Ⅱ)對于n≥6,已知,求證,m=1,2…,n;
(Ⅲ)求出滿足等式3n+4n+5n+…+(n+2)n=(n+3)n的所有正整數(shù)n.

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