Question

設(shè)a∈R，f（x）=（x∈R），
（1）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)．
（2）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時，對于給定的正實數(shù)k，解不等式 f^-1（x）＞log₂．
（3）設(shè)g（n）=（n∈N）．當(dāng)f（x）是奇函數(shù)時，試比較f（n）與g（n）的大�。�

Answer 1

解：（1）f（x）==a+，
由f（x）+f（-x）=0得a++a+=0，
整理得2a==2，
得a=1，即當(dāng)a=1時f（x）為奇函數(shù)．
（2）由（1）得f（x）=1+，
令y=1+得2^x+1=，
即2^x=-，故x=，
即 f^-1（x）=，
代入不等式得＞log₂，故有k＞1-x整理得
又由于k＞0，故有x＜1-k，又函數(shù)的定義域是[-1，1]，故不等式的解集為[-1，1-k]，
（3）f（n）-g（n）=1+-=1-=
==
從差的形式看出，分母一定為正，差的符號由分子的符號確定，由于n∈N，下對n的取值進行討論，以確定差的正負
當(dāng)n=0時，2ⁿ-2n-1=0故f（n）=g（n）
當(dāng)n=1時，2ⁿ-2n-1=-1故f（n）＜g（n）
當(dāng)n=2時，2ⁿ-2n-1=-1故f（n）＜g（n）
當(dāng)n=3時，2ⁿ-2n-1=1故f（n）＞g（n）
當(dāng)n=4時，2ⁿ-2n-1=7故f（n）＞g（n）
觀察知當(dāng)n≥3時，總有2ⁿ-2n-1＞0，故當(dāng)n≥3時，f（n）＞g（n）
綜上，當(dāng)n=0時，f（n）=g（n）；當(dāng)n=1或2時，f（n）＜g（n）；當(dāng)n≥3時，f（n）＞g（n）．
分析：（1）先把解析式變?yōu)閒（x）==a+，用f（x）+f（-x）=0這一方程求出a的值；
（2）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時，求出其反函數(shù)，代入不等式 f^-1（x）＞log₂，其解集需要用參數(shù)k來表示；
（3）作差，整理后，探究差的符號，比較出f（n）與g（n）的大�。�
點評：本題考點是反函數(shù)，綜合考查了利用奇偶性求參數(shù)，求反函數(shù)解不等式，以及作差法比較大小，對于一些不好利用單調(diào)性比較大小的非常規(guī)題，常用作差的方法通過研究差的符號來比較兩個數(shù)（或式）的大小．