Question

已知函數f(x)=Asin(ωx+?)，x∈R，(A＞0．ω＞0，0＜?＜

π

2

)的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為

π

2

，且圖象上一個最低點為M(

2π

3

，-2)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設A，B，C是△ABC的三個內角，若cosB=

1

3

，f(

C

2

)=

3

，求sinA．

Answer 1

分析：（1）由題意得A=2且函數f（x）的周期為π，利用周期公式算出ω=2．根據圖象上一個最低點M的坐標，建立關于?的等式解出?=

π

6

，即可得到f（x）的解析式；
（2）利用同角三角函數的關系，算出sinB=

2 2

3

．由（1）的結論得f(

C

2

)=2sin(C+

π

6

)=

3

，結合C為三角形的內角得出C=

π

2

或C=

π

6

，再利用三角形內角和定理、誘導公式與兩角和的正弦公式，即可算出sinA的值．

解答：解：（1）∵函數圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為

π

2

，
∴函數的周期T=2×

π

2

=π，可得

2π

ω

=π，解得ω=2．
又∵函數圖象上一個最低點為M(

2π

3

，-2)．
∴A=2，且ω•

2π

3

+?=

3π

2

+2kπ（k∈Z），即2•

2π

3

+?=

3π

2

+2kπ（k∈Z）
結合0＜?＜

π

2

，取k=0解得?=

π

6

，
∴f（x）的解析式為f(x)=2sin(2x+

π

6

)．
（2）∵cosB=

1

3

，B∈（0，π），
∴sinB=

1-cos2B

=

2 2

3

．
由（1）得f(

C

2

)=

3

，即2sin(C+

π

6

)=

3

，
∵C∈（0，π），
∴C+

π

6

∈(

π

6

，

7π

6

)，可得C=

π

2

或C=

π

6

，
當C=

π

2

時，A+B=

π

2

，可得sinA=cosB=

1

3

；
當C=

π

6

時，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=

2 2

3

×

3

2

+

1

3

×

1

2

=

2 6 +1

6

．
綜上所述，可得sinA=

1

3

或

2 6 +1

6

．

點評：本題給出函數的圖象滿足的條件，求函數的表達式并依此解三角形．著重考查了三角函數的圖象與性質、三角函數的誘導公式和兩角和的正弦公式等知識，屬于中檔題．