已知△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若sinA+cosA=
2
,且b=
2
,B=
π
6

(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x-
a
sinx+1,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,
π
2
]上的值域.
考點(diǎn):正弦定理
專題:解三角形
分析:(Ⅰ)把已知等式兩邊平方,整理求出sin2A的值,由A為三角形內(nèi)角,求出A的度數(shù),由sinA,sinB,b的值,利用正弦定理即可求出a的值;
(Ⅱ)由a的值確定出f(x)解析式,設(shè)sinx=t,得到y(tǒng)與t的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出y的最大值與最小值,進(jìn)而確定出f(x)在區(qū)間[0,
π
2
]上的值域.
解答: 解:(Ⅰ)把sinA+cosA=
2
,兩邊平方得:1+2sinAcosA=2,即sin2A=1,
∵0<A<π,∴0<2A<2π,
∴2A=
π
2
,即A=
π
4
,
由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
得:a=
bsinA
sinB
=
2
×
2
2
1
2
=2;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:f(x)=sin2x-
2
sinx+1,
設(shè)sinx=t,則y=t2-
2
t+1=(t-
2
2
2+
1
2
,0≤t≤1,
∴當(dāng)t=0,即x=0時(shí),ymax=1;當(dāng)t=
2
2
,即x=
π
4
時(shí),ymin=
1
2
,
則f(x)在區(qū)間[0,
π
2
]上的值域?yàn)閇
1
2
,1].
點(diǎn)評(píng):此題考查了正弦定理,二次函數(shù)的性質(zhì),以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(
1
x
)
,且當(dāng)x∈[
1
e
,1]
時(shí),f(x)=lnx,若當(dāng)x∈[
1
e
,e]
時(shí),函數(shù)g(x)=f(x)-ax與x軸有兩個(gè)相異交點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
A、[-e,0)
B、[-e,0]
C、[-
1
e
,0)
D、[-e,-
1
e
]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若f(x)=x2+2xf′(1),則f′(0)=( 。
A、1B、2C、-4D、6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2x,x≥2
f(x+2),x<2
,則f(log23)=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知圓C經(jīng)過(guò)A(3,2),B(1,6)圓心在直線y=2x上.
(1)求圓C方程;
(2)若直線 x+2y+m=0與圓C相交于M、N兩點(diǎn),且∠MAN=60°,求m的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知實(shí)數(shù)a≥1,b≥1,且a+b=4,若存在實(shí)數(shù)c使得ab+
1
ab
≥c成立,則實(shí)數(shù)c的取值范圍是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知集合A={-1,0},則集合A的子集有( 。
A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

正實(shí)數(shù)a,b滿足a+2b=30,則ab的最大值為( 。
A、
225
2
B、
125
2
C、
225
4
D、
125
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知i是虛數(shù)單位,設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(3-i)=10,則
.
z
=(  )
A、1-3iB、1+3i
C、3-iD、3+i

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