Question

設f（x）=

2x

x2+6

（1）若關于x的不等式f（x）＞k的解集是{x|x＞-2或x＜-3}，求k的值；
（2）當x＞0時，不等式f（x）＜k恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,其他不等式的解法

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）不等式f（x）＞k?kx²-2x+6k＜0，由二次不等式性質可知，-2，-3是方程kx²-2x+6k=0的兩根，代入求解即可；
（2）利用基本不等式得，f（x）=

2x

x2+6

=

2

x+ 6 x

≤

2

2 6

=

6

6

，當且僅當x=

6

x

，即x=

6

時，等號成立．從而可確定k的值．

解答： 解：（1）∵x²+6＞0，
∴不等式f（x）＞k?kx²-2x+6k＜0，
由二次不等式性質可知，
-2，-3是方程kx²-2x+6k=0的兩根，
即-2+（-3）=

2

k

，
∴k=-

2

5

，
（2）∵x＞0，
f（x）=

2x

x2+6

=

2

x+ 6 x

≤

2

2 6

=

6

6

，當且僅當x=

6

x

，即x=

6

時，等號成立．
∴不等式f（x）＜k恒成立?k＞

6

6

．
∴k的取值范圍是(

6

6

，+∞)．

點評：本題考查一元二次不等式得性質，和基本不等式在恒成立問題中的應用，屬于中檔題．