Question

已知函數(shù)f（x）=ae^x+

1

2

x²+bx，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線為y-1=0．
（1）求f（x）的解析式及單調(diào)區(qū)間；
（2）若m為整數(shù)，且當(dāng)x＞ln2時(shí)，（x-m）（f′（x）-x-1）+2x+1＞0，求m的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求f（x）的解析式及單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)的表達(dá)式，姜不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，解不等式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=ae^x+x+b，
∵直線y-1=0的斜率為0，且過點(diǎn)（0，1），
∴

f(0)=1 f′(0)=0

，即

a=1 a+b=0

，解得a=1，b=-1．
∴f（x）的解析式為f（x）=e^x+

1

2

x²-x，
∵f′（x）=e^x+x-1，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）=e^x+x-1＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）=e^x+x-1＞0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
即函數(shù)的增區(qū)間為（0，+∞），減區(qū)間為（-∞，0）．
（2）∵（x-m）（f′（x）-x-1）+2x+1=（x-m）（e^x-2）+2x+1，
故當(dāng)x＞ln2時(shí)，（x-m）（f′（x）-x-1）+2x+1＞0，等價(jià)為，m＜

2x+1

ex-2

+x，（x＞ln2），①，
令g（x）=

2x+1

ex-2

+x，（x＞ln2），
則g′（x）=

-2xex+ex-4

(ex-2)2

+1=

ex(ex-2x-3)

(ex-2)2

．
令h（x）=e^x-2x-3，則h′（x）=e^x-2，
∵x＞ln2，∴h′（x）=e^x-2＞0，
即h（x）在（ln2，+∞）上存在唯一的零點(diǎn)，
故g′（x）在（ln2，+∞）上存在唯一的零點(diǎn)，
設(shè)此零點(diǎn)為a，則a∈（1，2），
當(dāng)x∈（ln2，a）時(shí)，g′（x）＜0，
當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，
故g（x）在（ln2，+∞）上的最小值為g（a），
由g′（a）=0，可得e^a=2a+3，
∴g（a）=a+1∈（2，3），
由于①等價(jià)于m＜g（a），故m的最大值是2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)行求導(dǎo)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．