Question

設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意，都有，其中為數(shù)列.的前n項(xiàng)和.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)（為非零整數(shù)，），試確定的值，使得對(duì)任意，都有成立.

 

Answer 1

（1）；（2）對(duì)所有的，都有成立.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題目給出的遞推式，取得另一遞推式，兩式作差后即可求出當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列，然后令驗(yàn)證其是否滿足該通項(xiàng)即可判斷數(shù)列為等差數(shù)列；（2）將（1）的結(jié)果代入通項(xiàng)即可得出關(guān)于的通項(xiàng)公式；然后取得另一遞推式，兩式作差化簡(jiǎn)可得；再將問(wèn)題“對(duì)任意，都有成立”轉(zhuǎn)化為對(duì)任意，恒成立，將其分成兩類進(jìn)行討論：（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， 恒成立，解得 的取值范圍；（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， 恒成立，解得 的取值范圍，最后根據(jù)為非零整數(shù)，確定參數(shù)的值即可.

試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020906042674746972/SYS201502090604346226930820_DA/SYS201502090604346226930820_DA.021.png">時(shí)，， ①

當(dāng)時(shí)，， ②

由①－②得，

即，∵ 所以，

由已知得，當(dāng)時(shí)，，所以.

故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.所以.

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020906042674746972/SYS201502090604346226930820_DA/SYS201502090604346226930820_DA.031.png">，∴，

所以.

要使得恒成立，只須.

（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即恒成立.又的最小值為，所以.

（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即恒成立.又的最大值為，所以.

所以由（1），（2）得，又且為整數(shù)，

所以對(duì)所有的，都有成立.

考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的函數(shù)特性.