15.已知函數(shù)f(x)=${(\frac{1}{2})^{{x^2}+4x+3}}$-t,g(x)=x+1+$\frac{4}{x+1}$+t,若?x1∈R,?x2∈(-∞,-1),使得f(x1)≤g(x2),則實(shí)數(shù)t的取值范圍是( 。
A.(-∞,0]B.(0,2]C.(-∞,-2]D.[3,+∞)

分析 由基本不等式可判斷出x+1+$\frac{4}{x+1}$≤-4,從而可得g(x2max=-4+t,而配方法可得f(x)=${(\frac{1}{2})^{{x^2}+4x+3}}$-t≤2-t,從而化恒成立問題為最值問題.

解答 解:當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),x+1∈(-∞,0),
x+1+$\frac{4}{x+1}$
=-(-(x+1)+(-$\frac{4}{x+1}$))
≤-4,
(當(dāng)且僅當(dāng)x+1=$\frac{4}{x+1}$,即x=-3時(shí),等號(hào)成立),
故g(x2max=-4+t,
f(x)=${(\frac{1}{2})^{{x^2}+4x+3}}$-t
=$(\frac{1}{2})^{(x+2)^{2}-1}$-t≤2-t,
∵?x1∈R,?x2∈(-∞,-1),使得f(x1)≤g(x2),
∴2-t≤-4+t,
解得,t≥3,
故選:D.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用,同時(shí)考查了恒成立問題與最值問題的應(yīng)用.

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