Question

【題目】已知函數.

(1)設函數,討論函數的單調性；

(2)當 時，求證：.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）求出函數的解析式，進而得到其導數，然后根據的取值進行分類討論可得函數的單調性；（2）由題意即證不等式成立，設 ，結合導數可得 ，然后再證明即可得到結論成立．

（1）由題意得，

所以，

令，得或．

①當時，

則當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增．

②當時，

則當或時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減．

③當時，恒成立，函數在上單調遞增．

④當時，

則當或時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減．

綜上可得，當時，在上單調遞減，在上單調遞增；

當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；

當時，在上單調遞增；

當時，在和上單調遞增，在上單調遞減．

（2）由題意得即證不等式成立．

設，

則，

又，

∴當時，單調遞減；當時，單調遞增．

∴．

又，

∴在上單調遞減，

∴，

∴，即．