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已知橢圓C的兩焦點分別為F1（-2
2
，0）、F2（2
2
，0），長軸長為6，
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知過點（0，2）且斜率為1的直線交橢圓C于A、B兩點，求線段AB的長度．
分析：（1）由F1(-2
2
，0)、F2(2
2
，0)，長軸長為6，能得到橢圓方程．
（2）設A
x1，y1
，B
x2，y2
，由橢圓方程為
x2
9
+
y2
1
=1，直線AB的方程為y=x+2得10x2+36x+27=0，由此能得到線段AB的長度．
解答：解：（1）由F1(-2
2
，0)、F2(2
2
，0)，長軸長為6
得：c=2
2
，a=3所以b=1
∴橢圓方程為
x2
9
+
y2
1
=1…（5分）
（2）設A
x1，y1
，B
x2，y2
，由（1）可知橢圓方程為
x2
9
+
y2
1
=1①，
∵直線AB的方程為y=x+2②…（7分）
把②代入①得化簡并整理得10x2+36x+27=0
∴x1+x2=-
18
5
，x1x2=
27
10
…（10分）
又|AB|=
(1+12)(
182
52
-4×
27
10
)
=
6
3
5
…（12分）
點評：本題考查橢圓方程的求法和弦長的運算，解題時要注意橢圓性質的靈活運用和弦長公式的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標原點O，半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“伴隨圓”．
（1）若橢圓C過點(
5
，0)，且焦距為4，求“伴隨圓”的方程；
（2）如果直線x+y=3
2
與橢圓C的“伴隨圓”有且只有一個交點，那么請你畫出動點Q（a，b）軌跡的大致圖形；
（3）已知橢圓C的兩個焦點分別是F1（-
2
，0）、F2（
2
，0），橢圓C上一動點M1滿足|
M1F1
|+|
M1F
2|=2
3
．設點P是橢圓C的“伴隨圓”上的動點，過點P作直線l1、l2使得l1、l2與橢圓C都各只有一個交點，且l1、l2分別交其“伴隨圓”于點M、N．當P為“伴隨圓”與y軸正半軸的交點時，求l1與l2的方程，并求線段|
MN
|的長度．

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科目：高中數學 來源： 題型：

給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標原點O，半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“伴隨圓”． 已知橢圓C的兩個焦點分別是F1(-
2
，0)、F2(
2
，0)，橢圓C上一動點M1滿足|
M1F1
|+|
M1F
2|=2
3
．
（Ⅰ）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程
（Ⅱ）試探究y軸上是否存在點P（0，m）（m＜0），使得過點P作直線l與橢圓C只有一個交點，且l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2
2
．若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年江蘇省高三3月月考數學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分15分）

給定橢圓C：，稱圓心在原點O、半徑是的圓為橢圓C的“準圓”．已知橢圓C的一個焦點為，其短軸的一個端點到點的距離為．

（1）求橢圓C和其“準圓”的方程；

（2）若點是橢圓C的“準圓”與軸正半軸的交點，是橢圓C上的兩相異點，且軸，求的取值范圍；

（3）在橢圓C的“準圓”上任取一點，過點作直線，使得與橢圓C都只有一個交點，試判斷是否垂直？并說明理由．

 

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科目：高中數學 來源：2014屆湖南邵陽石齊學校高二第三次月考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

(本題滿分13分)

已知橢圓C的兩焦點分別為，長軸長為6，

⑴求橢圓C的標準方程;

⑵已知過點（0，2）且斜率為1的直線交橢圓C于A 、B兩點,求線段AB的長度。

 

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科目：高中數學 來源：2013屆云南省潞西市高二下學期期中文理數學試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分12分） 

已知橢圓C的兩焦點分別為，長軸長為6。

 ⑴求橢圓C的標準方程;   ⑵已知過點（0，2）且斜率為1的直線交橢圓C于A 、B兩點,求線段AB的長度。

 

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