Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓上一點(diǎn)，∠F₁PF₂=60°則橢圓離心率的取值范圍是

[

1

2

，1）

．

Answer 1

分析：設(shè)P（x₁，y₁），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），c＞0，則|PF₁|=a+ex₁，|PF₂|=a-ex₁．在△PF₁F₂中，由余弦定理得x12=

4c2-a2

3e2

．再由x₁²∈（0，a²]，能求出橢圓離心率的取范圍．

解答：解：設(shè)P（x₁，y₁），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），c＞0，
則|PF₁|=a+ex₁，|PF₂|=a-ex₁．
在△PF₁F₂中，由余弦定理得cos60°=

1

2

=

(a+ex1)2+(a-ex1)2-4c2

2(a+ex1)(a-ex1)

，
解得 x12=

4c2-a2

3e2

．
∵x₁²∈（0，a²]，
∴0≤

4c2-a2

3e2

＜a2，
即4c²-a²≥0．且e²＜1
∴e=

c

a

≥

1

2

．
故橢圓離心率的取范圍是 e∈[

1

2

，1）．
故答案為：[

1

2

，1）．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．當(dāng)P點(diǎn)在短軸的端點(diǎn)時∠F₁PF₂值最大，這個結(jié)論可以記住它．在做選擇題和填空題的時候直接拿來解決這一類的問題．