Question

13．設數(shù)列{a_n}的通項公式為${a_n}=n，{b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，T_n為{b_n}的前n項和，若存在自然數(shù)m，n （m＞n）使T₁、T_n、T_m成等比數(shù)列，則m=8．

Answer 1

分析 通過裂項相消法計算可知T_n=$\frac{n}{n+1}$，進而可知${{T}_{n}}^{2}$=T₁T_m，化簡可知$\frac{2}{m}$=$\frac{-{n}^{2}+2n+1}{{n}^{2}}$，利用其為正數(shù)可得關于想的表達式n²-2n-1＜0，計算可知n=1或n=2，分情況討論即可．

解答 解：∵a_n=n，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
并項相加可知，T_n=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
∵存在自然數(shù)m，n （m＞n）使T₁、T_n、T_m成等比數(shù)列，
∴${{T}_{n}}^{2}$=T₁T_m，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{m}{m+1}$=$\frac{{n}^{2}}{（n+1）^{2}}$=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+2n+1}$，
兩邊同時取倒數(shù)，可知$\frac{2m+2}{m}$=$\frac{{n}^{2}+2n+1}{{n}^{2}}$，
∴$\frac{2}{m}$=$\frac{-{n}^{2}+2n+1}{{n}^{2}}$＞0，
∴n²-2n-1＜0，即（n-1）²＜2，
∴n=1或n=2，
當n=1時，$\frac{2}{m}$=$\frac{-1+2+1}{1}$=2，故m=1，矛盾；
當n=2時，$\frac{2}{m}$=$\frac{-4+4+1}{4}$=$\frac{1}{4}$，故m=8；
綜上所述，當且僅當n=2、m=8時，T₁、T_n、T_m成等比數(shù)列，
故答案為：8．

點評 本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及其性質，考查裂項相消法，考查學生的函數(shù)思想方法，及其推理論證和探究的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．