Question

【題目】已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，，且橢圓上一點(diǎn)，滿足，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，與軸、軸分別交于點(diǎn)、，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）若，且，求的值；

（3）當(dāng)△面積取得最大值，且點(diǎn)在橢圓上時(shí)，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）3（3）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓定義焦點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算基本量即可得解；

（2）根據(jù)已知條件結(jié)合弦長公式求得m，得出三點(diǎn)坐標(biāo)，利用線段長度公式得解；

（3）聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理表示出三角形面積，根據(jù)基本不等式求最值，即可得到此時(shí)的值.

（1）由題意可得，∴橢圓方程為

（2）由題意得，此時(shí)直線方程為，將其代入橢圓方程整理可得

，其中

設(shè)，則

∴，由橢圓具有對稱性，

∴不妨取，則，∴

（3）將直線方程代入橢圓方程整理可得，其中

，設(shè)，

則，

∴

原點(diǎn)到直線的距離，

∴，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，

又代入橢圓方程可得，

其中，，

∴整理得

再將代入，

整理得，

，

整理得，.