Question

設f（x）=

x

a(x+2)

，x=f（x）有唯一解，f（x₀）=

1

1002

，f（x_n-1）=x_n，n=1，2，…，
（1）問數列{

1

xn

}是否是等差數列？
（2）求x₂₀₀₃的值．

Answer 1

考點：等差關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據等差數列的定義進行遞推判斷即可．
（2）求出數列的通項公式即可得到結論．

解答： （1）由x=

x

a(x+2)

⇒x=0或x=

1

a

-2，
∴由題知

1

a

-2=0，a=

1

2

.f(x)=

2x

x+2

，
∴xn=f(xn-1)=

2xn-1

xn-1+2

⇒

1

xn

-

1

xn-1

=

1

2

又∵x1=f(x0)=

1

1002

，所以

1

x1

=1002．
∴數列{

1

xn

}是首項為1002，公差等于

1

2

的等差數列．
（2）由（1）知

1

x2003

=

1

x1

+(2003-1)•

1

2

=2003，
∴x2003=

1

2003

點評：本題主要考查等差數列的判斷和性質的應用，要求熟練掌握等差數列的通項公式．