Question

已知以向量v=為方向向量的直線l過點(diǎn)，拋物線C：y²=2px（p＞0）的頂點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在該拋物線的準(zhǔn)線上.
（1）求拋物線C的方程；
（2）設(shè)A、B是拋物線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過A作平行于x軸的直線m,直線OB與直線m交于點(diǎn)N，若·+p²="0" （O為原點(diǎn)，A、B異于原點(diǎn)），試求點(diǎn)N的軌跡方程.

Answer 1

（1）y²=4x（2）點(diǎn)N的軌跡方程為x=-2(y≠0)

（1）由題意可得直線l的方程為y=x+,                        ①
過原點(diǎn)垂直于l的直線方程為y="-2x.                                 " ②
解①②得x=-.
∵拋物線的頂點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在該拋物線的準(zhǔn)線上，
∴-=-×2, p=2.
∴拋物線C的方程為y²=4x.
(2)設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),N(x,y),由題意知y=y₁.
由·+ p ²=0，得x₁x₂+y₁y₂+4=0,
又y₁²=4x₁,y₂²=4x₂,解得y₁y₂="-8,                                      " ③
直線ON：y=x，即y=x.                                       ④
由③、④及y=y₁得點(diǎn)N的軌跡方程為x=-2(y≠0).