在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,2),其焦點(diǎn)F在x軸上.

(1)求拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求過(guò)點(diǎn)F,且與直線(xiàn)OA垂直的直線(xiàn)的方程;
(3)設(shè)過(guò)點(diǎn)M(m,0)(m>0)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)C于D、E兩點(diǎn),ME=2DM,記D和E兩點(diǎn)間的距離為f(m),求f(m)關(guān)于m的表達(dá)式.
(1)y2=2x(2)x+y-=0(3)(m>0)
(1)由題意,可設(shè)拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px.因?yàn)辄c(diǎn)A(2,2)在拋物線(xiàn)C上,所以p=1.因此拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2x.
(2)由(1)可得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)是,又直線(xiàn)OA的斜率為=1,故與直線(xiàn)OA垂直的直線(xiàn)的斜率為-1,因此所求直線(xiàn)的方程是x+y-=0.

(3)(解法1)設(shè)點(diǎn)D和E的坐標(biāo)分別為(x1,y1)和(x2,y2),直線(xiàn)DE的方程是y=k(x-m),k≠0.
將x=+m代入y2=2x,有ky2-2y-2km=0,解得y1,2.
由ME=2DM知1+=2(-1),化簡(jiǎn)得k2.
因此DE2=(x1-x2)2+(y1-y2)2(y1-y2)2(m2+4m),所以f(m)= (m>0).
(解法2)設(shè)D,E.
由點(diǎn)M(m,0)及=2,得t2-m=2,t-0=2(0-s).因此t=-2s,m=s2.所以f(m)=DE= (m>0).
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)到該拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離比該點(diǎn)到軸的距離多1.

(1)求的值;
(2)如圖所示,過(guò)定點(diǎn)(2,0)且互相垂直的兩條直線(xiàn)、分別與該拋物線(xiàn)分別交于、、四點(diǎn).
(i)求四邊形面積的最小值;
(ii)設(shè)線(xiàn)段、的中點(diǎn)分別為、兩點(diǎn),試問(wèn):直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知直線(xiàn)交拋物線(xiàn)兩點(diǎn).若該拋物線(xiàn)上存在點(diǎn),使得為直角,則的取值范圍為_(kāi)_______.

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已知拋物線(xiàn)y2=2px(p≠0)上存在關(guān)于直線(xiàn)x+y=1對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn),則實(shí)數(shù)p的取值范圍為_(kāi)_______.

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已知拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,P、Q是拋物線(xiàn)上的兩個(gè)點(diǎn),若△PQF是邊長(zhǎng)為2的正三角形,則p的值是________.

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拋物線(xiàn)y2=4x上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為3,則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x=________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

設(shè)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),為該拋物線(xiàn)上三點(diǎn),若,則(   )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線(xiàn)E:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)l與x軸的交點(diǎn)為A.點(diǎn)C在拋物線(xiàn)E上,以C為圓心,|CO|為半徑作圓,設(shè)圓C與準(zhǔn)線(xiàn)l交于不同的兩點(diǎn)M,N.

(1)若點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2,求|MN|;
(2)若|AF|2=|AM|·|AN|,求圓C的半徑.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知直線(xiàn)y=-2上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)Q作直線(xiàn)l1垂直于x軸,動(dòng)點(diǎn)P在l1上,且滿(mǎn)足OP⊥OQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),記點(diǎn)P的軌跡為C.
(1)求曲線(xiàn)C的方程.
(2)若直線(xiàn)l2是曲線(xiàn)C的一條切線(xiàn),當(dāng)點(diǎn)(0,2)到直線(xiàn)l2的距離最短時(shí),求直線(xiàn)l2的方程.

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