Question

（14分）（2011•廣東）設(shè)a＞0，討論函數(shù)f（x）=lnx+a（1﹣a）x²﹣2（1﹣a）x的單調(diào)性．

Answer 1

見解析

試題分析：求出函數(shù)的定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，設(shè)g（x）=2a（1﹣a）x²﹣2（1﹣a）x+1，x∈（0，+∞），討論a=1，a＞1與0＜a＜1三種情形，然后利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)系求出單調(diào)性．
解：定義域{x|x＞0}
f′（x）==
設(shè)g（x）=2a（1﹣a）x²﹣2（1﹣a）x+1，x∈（0，+∞）
①若a=1，則g（x）=1＞0
∴在（0，+∞）上有f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
②若a＞1則2a（1﹣a）＜0，g（x）的圖象開口向下，
此時△=[﹣2（1﹣a）]²﹣4×2a（1﹣a）×1=4（1﹣a）（1﹣3a）＞0
方程2a（1﹣a）x²﹣2（1﹣a）x+1=0有兩個不等的實根
不等的實根為x₁=，x₂=
且x₁＜0＜x₂
∴在（0，）上g（x）＞0，
即f'（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
在（，+∞）上g（x）＜0，
即f'（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
③若0＜a＜1則2a（1﹣a）＞0，g（x）的圖象開口向上，
此時△=[﹣2（1﹣a）]²﹣4×2a（1﹣a）×1=4（1﹣a）（1﹣3a）
可知當(dāng)≤a＜1時，△≤0，故在（0，+∞）上，g（x）≥0，
即f'（x）≥0，f（x）是增函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜時，△＞0，方程2a（1﹣a）x²﹣2（1﹣a）x+1=0有兩個不等的實根
不等的實根滿足＞＞0
故在（0，）和（，+∞）上g（x）＞0，
即f'（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
在（，）上g（x）＜0，
即f'（x）＜0，f（x）是減函數(shù)．
點評：本題考查利用導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性：導(dǎo)函數(shù)為正函數(shù)遞增；導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，函數(shù)遞減，同時考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題．