Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2，記b_n=a_n+1-2a_n．
（Ⅰ）求b₁，并證明{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n+1=4a_n+2得，當(dāng)n≥2時(shí)，有S_n=4a_n-1+2，兩式相減得出a_n+1=4a_n-4a_n-1，移向a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），可證{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=3•2^n-1，a_n+1-2a_n=3•2^n-1，兩邊同除以2ⁿ，構(gòu)造出，數(shù)列{

an

2n

}是首項(xiàng)

1

2

，公差為

3

4

的等差數(shù)列．通過數(shù)列{

an

2n

}的通項(xiàng)求出{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=1，S_n+1=4a_n+2，
∴S₂=4a₁+2=a₁+a₂，a₂=5，
∴b₁=a₂-2a₁．=3，
另外，由S_n+1=4a_n+2得，當(dāng)n≥2時(shí)，有S_n=4a_n-1+2，
∴S_n+1-S_n=（4a_n+2）-（4a_n-1+2），
即a_n+1=4a_n-4a_n-1，a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），n≥2
又∵b_n=a_n+1-2a_n．∴b_n=2b_n-1．
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=3•2^n-1，
  a_n+1-2a_n=3•2^n-1，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

，數(shù)列{

an

2n

}是首項(xiàng)

1

2

，公差為

3

4

的等差數(shù)列．

an

2n

=

1

2

+（n-1）×

3

4

=

3

4

n-

1

4

a_n=（3n-1）•2^n-2

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推公式與通項(xiàng)公式，考查推理論證，運(yùn)算求解能力．