Question

有下列四個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）=a^x-1+3（a＞0，a≠1）的圖象一定過(guò)定點(diǎn)P（1，4）；
②函數(shù)y=|log

1

2

x|的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；
③已知f（x）=x⁵+ax³+bx-8，且f（-2）=8，則f（2）=-8；
④已知2^a=3^b=k（k≠1）且

1

a

+

2

b

=1，則實(shí)數(shù)k=18；
其中正確命題的序號(hào)是

 

．（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：由指數(shù)函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（0，1），結(jié)合函數(shù)圖象平移判斷①；
畫(huà)出函數(shù)的圖象判斷②；
構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=x⁵+ax³+bx，由已知求得g（2），進(jìn)一步求出f（2）判斷③；
化指數(shù)式為對(duì)數(shù)式，代入

1

a

+

2

b

=1求得k值判斷④．

解答： 解：對(duì)于①，
∵f（x）=a^x恒過(guò)定點(diǎn)（0，1），
∴f（x）=a^x-1+3（a＞0，a≠1）的圖象一定過(guò)定點(diǎn)P（1，4）．
命題①正確；
對(duì)于②，函數(shù)y=|log

1

2

x|的圖象如圖，

∴函數(shù)y=|log

1

2

x|的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1]．
∴命題②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，f（x）=x⁵+ax³+bx-8，
令g（x）=x⁵+ax³+bx，
∵函數(shù)g（x）的定義域?yàn)镽，且g（-x）=（-x）⁵+a（-x）³+b（-x）=-（x⁵+ax³+bx）=-g（x）．
∴g（x）為奇函數(shù)，
由f（-2）=g（-2）-8=8，得g（2）=-16，
∴f（2）=g（2）-8=-16-8=-24．
∴命題③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，由2^a=3^b=k（k≠1），得a=log₂k，b=log₃k．
代入

1

a

+

2

b

=1，得

1

log2k

+

2

log3k

=1．
即log_k2+log_k3=log_k6=1，解得k=6．
∴命題④錯(cuò)誤．
∴正確命題的序號(hào)是①．
故答案為：①．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了函數(shù)值的求法，是中檔題．