Question

如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是C₁C的中點(diǎn)，則BE與平面B₁BDD₁所成的角的余弦值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間角

分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA₁分別為x，y，z軸正方向，建立空間坐標(biāo)系O-xyz，分別求出面B₁BDD₁的法向量和直線BE的方向向量，代入向量夾角公式，可得BE與平面B₁BDD₁所成角的正弦值，從而可得BE與平面B₁BDD₁所成的角的余弦值．

解答： 解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA₁分別為x，y，z軸正方向，建立空間坐標(biāo)系O-xyz
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），E（2，2，1）
根據(jù)正方體的幾何特征，可得AC⊥平面B₁BDD₁，
故

AC

=（2，2，0）是平面B₁BDD₁的一個(gè)法向量
又∵

BE

=（0，2，1）
故BE與平面B₁BDD₁所成角θ滿足sinθ=

4

2 2 • 5

=

10

5

，
∴cosθ=

15

5

故答案為：

15

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，其中建立空間坐標(biāo)系，將線面夾角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題是解答的關(guān)鍵．