Question

以A表示值域為R的函數(shù)組成的集合，B表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)φ（x）組成的集合：對于函數(shù)φ（x），存在一個正數(shù)M，使得函數(shù)φ（x）的值域包含于區(qū)間[-M，M]．例如：當(dāng)φ₁（x）=x³，φ₂（x）=sinx時，φ₁（x）∈A，φ₂（x）∈B．現(xiàn)有定義域均為D的函數(shù)f（x），g（x），給出下面結(jié)論：
①如果f（x）∈B，那么f（x）可能沒有最大值；
②如果f（x）∈A，g（x）∈A，那么一定有f（x）+g（x）∈A；
③如果f（x）∈A，g（x）∈B，那么一定有f（x）+g（x）∈A；
④如果f（x）∈A，那么對任意b∈R，總存在a∈D，使得f（a）=b．
其中正確的有

 

（寫出所有正確結(jié)論的序號）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：根據(jù)題中的新定義，結(jié)合函數(shù)值域的概念，可判斷出命題①②③④是否正確，從而得到本題的結(jié)論．

解答： 解：對于命題①：若函數(shù)f（x）∈B，即存在一個正數(shù)M，使得函數(shù)f（x）的值域包含于區(qū)間[-M，M]．
∴-M≤f（x）≤M．例如：函數(shù)f（x）滿足-2＜f（x）＜5，則有-5≤f（x）≤5，此時，f（x）無最大值，無最小值．
∴命題①如果f（x）∈B，那么f（x）可能沒有最大值，是真命題；
對于命題②：若函數(shù)f（x），g（x）的定義域相同，且f（x）∈A，g（x）∈A，
令f（x）=x，g（x）=-x，
則f（x）+g（x）=0恒成立．
即f（x）+g（x）∈B．
∴命題②是假命題．
對于命題③：若函數(shù)f（x），g（x）的定義域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，
則f（x）+g（x）的值域為R．
即f（x）+g（x）∈A．
∴命題③是真命題．
對于命題④：“f（x）∈A”即函數(shù)f（x）值域為R，故對任意b∈R，總存在a∈D，使得f（a）=b，
∴命題④是真命題；
故答案為：①③④．

點評：本題考查了函數(shù)值域的概念、基本不等式、充要條件，還考查了新定義概念的應(yīng)用和極限思想．本題計算量較大，也有一定的思維難度，屬于難題．