試題分析:(1)連結(jié)BD交AC于O,取PF中點(diǎn)G,連結(jié)OF,BG,EG,利用EO,EG分別為BG,F(xiàn)C的中位線,得到它們對應(yīng)平行,進(jìn)而得到平面BEG與平面ACF平行,再由面面平行的性質(zhì)得到線面平行.
(2)要求線面角,需要先找到線面角的代表角,即過C點(diǎn)做面PAD的垂線,因?yàn)镻A垂直于底面,所以過C作線段AD的垂線與AD交于H,則CH垂直于面PAD,所以角CPH即為線面角的代表角,要求該角的正弦值,就需要求出PC與CH,可以利用△PAC和△ACH為直角三角形通過勾股定理求出,進(jìn)而得到線面角的正弦值.
解:(1)證明1:連接BD交AC于點(diǎn)O,取
中點(diǎn)
,連接
、
、
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045255999299.png" style="vertical-align:middle;" />、
分別是
、
的中點(diǎn), 所以
,
又
,所以
2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045255687312.png" style="vertical-align:middle;" />、
分別是
、
的中點(diǎn),
所以
,同理可得
4分
又
所以,平面
平面
.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045256467430.png" style="vertical-align:middle;" />平面
,故
平面
. 6分
證明2:作AH垂直BC交BC于H
建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-XYZ,
令A(yù)D=PA=2,則AB=1
所以
為
中點(diǎn),
所以
2分
設(shè)面AFC的一個法向量
,又
由
,
所以
令
4分
所以
所以
故
平面
. 6分
(2)解1:因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045256811541.png" style="vertical-align:middle;" />,
,所以
.
過C作AD的垂線,垂足為H,則
,
,所以
平面PAD.
故
為PC與平面PAD所成的角. 9分
設(shè)
,則
,
,
,
所以
,即為所求. 12分
解2:作AH垂直BC交BC于H,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-XYZ,
令A(yù)D=PA=2,則AB=1,
所以
8分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824045257060687.png" style="vertical-align:middle;" />,所以面PCD的一個法向量為
10分
令PC與平面PAD所成的角為
,則
故PC與平面PAD所成角的正弦值為
. 12分.