(2013•豐臺區(qū)二模)已知等差數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-2,等比數(shù)列{bn}中,b1=a1,b4=a3+1.記集合A={x|x=an,n∈N*},B={x|x=bn,n∈N*},U=A∪B,把集合U中的元素按從小到大依次排列,構(gòu)成數(shù)列{cn}.
(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項公式,并寫出數(shù)列{cn}的前4項;
(Ⅱ)把集合?UA中的元素從小到大依次排列構(gòu)成數(shù)列{dn},求數(shù)列{dn}的通項公式,并說明理由;
(Ⅲ)求數(shù)列{cn}的前n項和Sn
分析:(I)根據(jù)等比數(shù)列的通項公式,算出bn=2n-1,從而得到數(shù)列{bn}的前4項,再與{an}的前4項加以對照即可得到數(shù)列{cn}的前4項;
(II)根據(jù)補集定義,得到數(shù)列{dn}前4項分別為2、8、32、128,從而猜測{dn}的通項公式為dn=22n-1.然后加以證明:注意到dn=b2n,所以只需證明數(shù)列{bn}中b2n-1∈A且b2n∉A.一方面b2n+1-b2n-1=4n-4n-1=3×4n-1,從而b2n+1=b2n-1+3×4n-1,結(jié)合整數(shù)的整除理論證出“若b2n-1∈A,則b2n+1∈A”,由此結(jié)合b1∈A實施遞推可得b2n-1∈A;另一方面通過作差,證出b2n+2=b2n+3×2×4n-1,根據(jù)“3×2×4n-1”等于{an}的公差3k(k∈Z)倍,結(jié)合整數(shù)的整除理論可得b2n 與b2n+2要么同時屬于A,要么同時不屬于A,結(jié)合b2=2∉A可得b2n∉A.由以上兩方面相綜合,即可得到數(shù)列{dn}的通項公式為dn=22n-1;
(III)分兩種情況:①當n=1時,根據(jù){cn}的定義易得S1=1;②當n≥2時由(Ⅱ)的結(jié)論可得:{bn}中的奇數(shù)項b2n-1∈A,而偶數(shù)項b2n∉A,因此發(fā)現(xiàn)存在整數(shù)k<n使Sn=
n-k
i=1
ai+
k
i=1
b2i
成立,再討論整數(shù)k與n的關(guān)系算出
22k-1+3k-1
3
<n
22k+1+3k+2
3
.由以上的討論,即可得出數(shù)列{cn}的前n項和Sn的表達式.
解答:解:(Ⅰ)設等比數(shù)列{bn}的公比為q,
∵b1=a1=1,b4=a3+1=8,則q3=8,∴q=2,∴bn=2n-1,…(2分)
∵數(shù)列{an}的前4項為1,4,7,10,數(shù)列{bn}的前4項為1,2,4,8,
∴數(shù)列{cn}的前4項為1,2,4,7;  …(3分)
(Ⅱ)根據(jù)集合B中元素2,8,32,128∉A,猜測數(shù)列{dn}的通項公式為dn=22n-1.…(4分)
∵dn=b2n,∴只需證明數(shù)列{bn}中,b2n-1∈A,b2n∉A(n∈N*).
證明如下:
∵b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=3×4n-1,即b2n+1=b2n-1+3×4n-1,
若?m∈N*,使b2n-1=3m-2,那么b2n+1=3m-2+3×4n-1=3(m+4n-1)-2,
所以若b2n-1∈A,則b2n+1∈A.因為b1∈A,重復使用上述結(jié)論,即得b2n-1∈A(n∈N*).
同理,b2n+2-b2n=22n+1-22n-1=2×4n-2×4n-1=3×2×4n-1,即b2n+2=b2n+3×2×4n-1,
因為“3×2×4n-1”等于數(shù)列{an}的公差3的整數(shù)倍,由此說明b2n 與b2n+2(n∈N*)同時屬于A或同時不屬于A,
當n=1時,顯然b2=2∉A,即有b4=2∉A,重復使用上述結(jié)論,即得b2n∉A,
∴綜上所述,可得數(shù)列{dn}的通項公式為dn=22n-1;  …(8分)
(Ⅲ)(1)當n=1時,所以因為b1=a1=1,所以S1=1;           …(9分)
(2)當n≥2時,由(Ⅱ)知,數(shù)列{bn}中,b2n-1∈A,b2n∉A,
則?k∈N*,且k<n,使得
Sn=
n-k
i=1
ai+
k
i=1
b2i
=
(n-k)(a1+an-k)
2
+
b2(1-4k)
1-4
=
(n-k)(3n-3k-1)
2
+
2(4k-1)
3
.…(11分)
下面討論正整數(shù)k與n的關(guān)系:
數(shù)列{cn}中的第n項不外乎如下兩種情況:
①b2k=cn或者②an-k=cn,
若①成立,即有3(n-k)-2<22k-1<3(n-k+1)-2,
若②成立,即有22k-1<3(n-k)-2<22k+1
22k-1+3k-1
3
<n<
22k-1+3k+2
3
或者
22k-1+3k+2
3
<n<
22k+1+3k+2
3
,
顯然
22k-1+3k+2
3
=[k+
2
3
×(22k-2+1)]∉
N*,可得
22k-1+3k-1
3
<n<
22k+1+3k+2
3

綜上所述,得Sn的表達式為
Sn=
1,n=1
(n-k)(3n-3k-1)
2
+
2(4k-1)
3
,n∈(
22k-1+3k-1
3
,
22k+1+3k+2
3
)(k,n∈N*)
.…(14分)
點評:本題給出成等差數(shù)列和成等比數(shù)列的兩個數(shù)列,將兩個數(shù)列構(gòu)成的集合并集中的項按從小至大的順序排列,得到新的數(shù)列并求這個新數(shù)列的前n項和.著重考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式,等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式,考查了分類討論的數(shù)學思想和數(shù)列中的猜想、類比與遞推的思想,對數(shù)學的綜合能力要求較高,屬于難題.
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①當a=2,m=0時,直線l與圖象G恰有3個公共點;
②當a=3,m=
1
4
時,直線l與圖象G恰有6個公共點;
③?m∈(1,+∞),?a∈(4,+∞),使得直線l與圖象G交于4個點,且相鄰點之間的距離相等.
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16
1
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1
16
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x2
4
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1
2
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3

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關(guān)于偶函數(shù)f(x)的圖象G和直線l:y=m(m∈R)的3個命題如下:
①當a=4時,存在直線l與圖象G恰有5個公共點;
②若對于?m∈[0,1],直線l與圖象G的公共點不超過4個,則a≤2;
③?m∈(1,+∞),?a∈(4,+∞),使得直線l與圖象G交于4個點,且相鄰點之間的距離相等.
其中正確命題的序號是( 。

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π
12
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