Question

（本題滿分18分）

對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時(shí)滿足：

①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；

②當(dāng)定義域是時(shí)，的值域也是．

則稱是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．

（1）求證：函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”．

（2）已知：函數(shù)（）有“和諧區(qū)間”，當(dāng)變化時(shí)，求出的最大值．

（3）易知，函數(shù)是以任一區(qū)間為它的“和諧區(qū)間”．試再舉一例有“和諧區(qū)間”的函數(shù)，并寫出它的一個(gè)“和諧區(qū)間”．（不需證明，但不能用本題已討論過(guò)的及形如的函數(shù)為例）

Answer 1

（18分）（1）設(shè)是已知函數(shù)定義域的子集．，或，故函數(shù)在上單調(diào)遞增．

若是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則……………4分

故、是方程的同號(hào)的相異實(shí)數(shù)根．

無(wú)實(shí)數(shù)根，函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”．………………6分

（2）設(shè)是已知函數(shù)定義域的子集．，或，故函數(shù)在上單調(diào)遞增．

若是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則……………10分

故、是方程，即的同號(hào)的相異實(shí)數(shù)根．

，，同號(hào)，只須，即或時(shí)，已知函數(shù)有“和諧區(qū)間”，，

當(dāng)時(shí)，取最大值………………14分

（3）如：和諧區(qū)間為、，當(dāng)?shù)膮^(qū)間；

     和諧區(qū)間為；

 和諧區(qū)間為；…………

……………………………………18分

閱卷時(shí)，除考慮值域外，請(qǐng)?zhí)貏e注意函數(shù)在該區(qū)間上是否單調(diào)，不單調(diào)不給分．如舉及形如的函數(shù)不給分．