Question

4．已知A，B為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，對于函數(shù)：f（x）=（$\frac{sinA}{cosB}$）^|x|+（$\frac{sinB}{cosA}$）^|x|，下列說法正確的是（　　）

• A． f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增
• B． f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減
• C． f（x）在定義域上單調(diào)遞增
• D． f（x）在定義域上單調(diào)遞減

Answer 1

分析 根據(jù)條件便可得出$0＜\frac{π}{2}-B＜A＜\frac{π}{2}，0＜\frac{π}{2}-A＜B＜\frac{π}{2}$，從而由正弦函數(shù)的單調(diào)性便可得出0＜cosB＜sinA，0＜cosA＜sinB，從而可分別判斷x∈（-∞，0]，和x∈（0，+∞）時(shí)f（x）的單調(diào)性：去絕對值號，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性便可判斷出f（x）的單調(diào)性，從而得出正確選項(xiàng)．

解答 解：∵A，B為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角；
∴$A+B＞\frac{π}{2}$，且$0＜A，B＜\frac{π}{2}$；
∴$0＜\frac{π}{2}-B＜A＜\frac{π}{2}，0＜\frac{π}{2}-A＜B＜\frac{π}{2}$；
∴0＜cosB＜sinA，0＜cosA＜sinB；
∴$0＜\frac{cosB}{sinA}＜1，0＜\frac{cosA}{sinB}＜1$，且$\frac{sinA}{cosB}＞1，\frac{sinB}{cosA}＞1$；
∴①x∈（-∞，0]時(shí)，$f（x）=（\frac{sinA}{cosB}）^{-x}+（\frac{sinB}{cosA}）^{-x}$=$（\frac{cosB}{sinA}）^{x}+（\frac{cosA}{sinB}）^{x}$；
$y=（\frac{cosB}{sinA}）^{x}$和$y=（\frac{cosA}{sinB}）^{x}$都是減函數(shù)；
∴f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減；
②x∈（0，+∞）時(shí)，$f（x）=（\frac{sinA}{cosB}）^{x}+（\frac{sinB}{cosA}）^{x}$；
$y=（\frac{sinA}{cosB}）^{x}$和$y=（\frac{sinB}{cosA}）^{x}$都是增函數(shù)；
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
∴選項(xiàng)A正確．
故選A．

點(diǎn)評 考查銳角三角形的定義，清楚三角形的內(nèi)角和為π，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及單調(diào)性的定義，不等式的性質(zhì)．