Question

4．如圖，點A，B，C是橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的三個頂點，D是OA的中點，P、Q是直線x=4上的兩個動點．
（1）當點P的縱坐標為1時，求證：直線CD與直線BP的交點在橢圓上；
（2）設F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右焦點，PF₁⊥QF₂，證明以線段PQ為直徑的圓恒過定點，并求出該定點坐標．

Answer 1

分析 （1）求出A，B，C，D，P的坐標，可得直線CD，BP的方程，求出交點，代入橢圓方程，即可得證；
（2）設P（4，m），Q（4，n），F(xiàn)₁（-2$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（2$\sqrt{3}$，0），由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得mn=-4，求得線段PQ為直徑的圓心和半徑，可得圓方程，再令y=0，即可得到定點的坐標．

解答 證明：（1）由題意可得A（4，0），B（0，2），C（0，-2），
P（4，1），D（2，0），
直線CD的方程為y=x-2，直線BP的方程為y=-$\frac{1}{4}$x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=-\frac{1}{4}x+2}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{16}{5}}\\{y=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，
由$\frac{1{6}^{2}}{25×16}$+$\frac{36}{25×4}$=1，可得直線CD與直線BP的交點在橢圓上；
（2）設P（4，m），Q（4，n），F(xiàn)₁（-2$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（2$\sqrt{3}$，0），
由PF₁⊥QF₂，可得$\frac{m}{4+2\sqrt{3}}$•$\frac{n}{4-2\sqrt{3}}$=-1，
即有mn=-4，
以線段PQ為直徑的圓的圓心為（4，$\frac{m+n}{2}$），半徑為$\frac{|m-n|}{2}$，
可得圓的方程為（x-4）²+（y-$\frac{m+n}{2}$）²=（$\frac{m-n}{2}$）²，
化為（x-4）²+y²-（m+n）y-4=0，
令y=0，即有（x-4）²-4=0，解得x=6或2．
則以線段PQ為直徑的圓恒過定點（2，0）或（6，0）．

點評 本題考查兩直線的交點在橢圓上，注意聯(lián)立直線方程，求交點，考查圓經(jīng)過定點的方法，注意圓方程的求法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．