19.已知函數(shù)f(x)=exx2mx+1exx2mx+1
(1)若m∈(-2,2),求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若m∈(0,1212],則當(dāng)x∈[0,m+1]時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖象是否總在直線y=x上方,請(qǐng)寫出判斷過(guò)程.

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論m的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(Ⅱ)令g(x)=x,討論m的范圍,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g(x)的最大值和f(x)的最小值,結(jié)合函數(shù)恒成立分別判斷即可證明結(jié)論.

解答 解:(Ⅰ)函數(shù)定義域?yàn)镽,f′(x)=exx1xm1x2mx+12
①當(dāng)m+1=1,即m=0時(shí),f′(x)≥0,此時(shí)f(x)在R遞增,
②當(dāng)1<m+1<3即0<m<2
x∈(-∞,1)時(shí),f′(x)>0,f(x)遞增,
x∈(1,m+1)時(shí),f′(x)<0,f(x)遞減,
x∈(m+1,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)遞增;
③0<m+1<1,即-1<m<0時(shí),
x∈(-∞,m+1)和(1,+∞),f′(x)>0,f(x)遞增,
x∈(m+1,1)時(shí),f′(x)<0,f(x)遞減;
綜上所述,①m=0時(shí),f(x)在R遞增,
②0<m<2時(shí),f(x)在(-∞,1),(m+1,+∞)遞增,在(1,m+1)遞減,
③-2<m<0時(shí),f(x)在(-∞,m+1),(1,+∞)遞增,在(m+1,1)遞減;
(Ⅱ)當(dāng)m∈(0,12]時(shí),由(1)知f(x)在(0,1)遞增,在(1,m+1)遞減,
令g(x)=x,
①當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)min=f(0)=1,g(x)max=1,
所以函數(shù)f(x)圖象在g(x)圖象上方;
②當(dāng)x∈[1,m+1]時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,
所以其最小值為f(m+1)=em+1m+2,g(x)最大值為m+1,
所以下面判斷f(m+1)與m+1的大小,
即判斷ex與(1+x)x的大小,其中x=m+1∈(1,32],
令m(x)=ex-(1+x)x,m′(x)=ex-2x-1,
令h(x)=m′(x),則h′(x)=ex-2,
因x=m+1∈(1,32],所以h′(x)=ex-2>0,m′(x)單調(diào)遞增;
所以m′(1)=e-3<0,m′(32)=e32-4>0,
故存在x0∈(1,32]使得m′(x0)=ex0-2x0-1=0,
所以m(x)在(1,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,32)單調(diào)遞增
所以m(x)≥m(x0)=ex0-x02-x0=2x0+1-x02-x0=-x02+x0+1,
所以x0∈(1,32]時(shí),m(x0)=-x02+x0+1>0,
即ex>(1+x)x也即f(m+1)>m+1,
所以函數(shù)f(x)的圖象總在直線y=x上方.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道綜合題.

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(2)寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(不要解答過(guò)程,只寫結(jié)果);
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