Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（m-1）x+m，（m∈R）
（1）若f（x）是偶函數(shù)，求m的值．
（2）設(shè)g（x）=

f(x)

x

，x∈[

1

4

，4]，求g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得，二次函數(shù)的對稱軸為y軸，即x=0，由此可得m的值．
（2）根據(jù)函數(shù)g（x）=

f(x)

x

=x+（m-1）+

m

x

，分①當(dāng)

1

4

≤

m

≤4時(shí)、②當(dāng)

m

＞4、③當(dāng)m＜

1

16

時(shí)，三種情況，分別利用函數(shù)的單調(diào)性求得g（x）的最小值．

解答：解：（1）由于二次函數(shù)函數(shù)f（x）=x²+（m-1）x+m 的對稱軸為 x=

1-m

2

，且函數(shù)為偶函數(shù)，故它的對稱軸為y軸，故有

1-m

2

=0，m=1．
（2）由于函數(shù)g（x）=

f(x)

x

=x+（m-1）+

m

x

，
①當(dāng)

1

4

≤

m

≤4時(shí)，即

1

16

≤m≤16時(shí)，由基本不等式可得g（x）的最小值為2

m

+m-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=

m

時(shí)，取得最小值．
②當(dāng)

m

＞4，即 m＞16時(shí)，由于函數(shù)g（x）在[

1

4

，4]上是減函數(shù)，故g（x）的最小值為g（4）=3+

5

4

m．
③當(dāng)m＜

1

16

時(shí)，函數(shù)g（x）在[

1

4

，4]上是增函數(shù)，故g（x）的最小值為g（

1

4

）=5m-

3

4

．
綜上可得，g_min（x）=

5m- 3 4  ， m＜ 1 16 2 m +m-1 ， 1 16 ≤m≤16 3+ 5 4 m ，m≥16

．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，利用函數(shù)的單調(diào)性求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題．