Question

已知定義在上的兩個函數的圖象在點處的切線的斜率為．
（1）求f（x）的解析式；
（2）試求實數k的最大值，使得對任意恒成立；
（3）若，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）求f′（x），進一步求出f′（），令其等于-，得a值，代入得f（x）的解析式；
（2）把解析式代入不等式，觀察f（x）、g（x）均為正數，分離參數，設另一邊為函數h（x），求其導函數，令h′（x）＞0，令h′（x）＜0，得函數h（x）的單調性，進一步求出其最大值，代入不等式可求k的范圍，即得k的最大值．
（3）由（2）的結論可得≥（-），在上式中分別令x=x₁，x₂，x₃，三式左右兩邊分別相加得一不等式，通分，結合所給等式，可得所求結果．
解答：解：（1）由
即可求得；（3分）
（2）當，＞＞＞0，
不等式f（x）≥≥≥（5分）
令
由于=（7分）
當；
當；
當x∈（2，3）時，h'（x）＜0．
又，
故h（x）_max=h（2）=25，
于是由；（10分）
（3）由（2）知，
在上式中分別令x=x₁，x₂，x₃再三式作和即得==，
所以有．（14分）
點評：本題考查導數在最大值問題中的應用，會利用導數研究函數的單調區(qū)間以及根據函數的增減性得到函數的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件；
證明不等式一般會用到上面的結論，仔細觀察要證式子及已證式子的特點，兩者如何連接．