Question

已知函數f(x)=

a

x

+x+(a-1)lnx+15a，F（x）=2x³-3（2a+3）x²+12（a+1）x+12a+2，其中a＜0且a≠-1．
（Ⅰ） 當a=-2，求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ） 若x=-1時，函數F（x）有極值，求函數F（x）圖象的對稱中心的坐標；
（Ⅲ）設函數g（x）=

F(x)，x≤1 f(x)，x＞1

（e是自然對數的底數），是否存在a使g（x）在[a，-a]上為減函數，若存在，求實數a的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 當a=-2，對f（x）求導數f′（x），令f'（x）＞0，解得f（x）的單調增區(qū)間；
（Ⅱ）由F（x）在x=-1時有極值，得F'（-1）=0，求出a的值，從而得F（x）的解析式，求出F（x）圖象的對稱中心；
（Ⅲ）假設命題成立，則F（x）在[a，1]上是減函數，f（x）在[1，-a]上是減函數，且F（1）≥f（1），從而求出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ） 當a=-2，f（x）=

-2

x

+x-3lnx-30（x＞0），
∴f′(x)=

2

x2

+1-

3

x

=

x2-3x+2

x2

，
設f'（x）＞0，
即x²-3x+2＞0，
∴x＜1，或x＞2，
∴f（x）單調增區(qū)間是（0，1），（2，+∞）；
（Ⅱ）∵F（x）=2x³-3（2a+3）x²+12（a+1）x+12a+2，當x=-1時，函數F（x）有極值，
∴F'（x）=6x²-6（2a+3）x+12（a+1），
且F'（-1）=0，∴a=-

3

2

，
∴F（x）=2x³-6x-16，
又F（x）=2x³-6x-16的圖象可由F1(x)=2x3-6x的圖象向下平移16個單位長度得到，而F1(x)=2x3-6x的圖象關于（0，0）對稱，
∴函數F（x）=2x³-6x-16的圖象的對稱中心坐標為（0，-16）；
（Ⅲ）假設存在a使g（x）在[a，-a]上為減函數，F'（x）=6x²-6（2a+3）x+12（a+1）=6（x-1）（x-2a-2），
當g（x）在[a，-a]上為減函數，則F（x）在[a，1]上為減函數，f（x）在[1，-a]上為減函數，且F（1）≥f（1），則a≥-3．
由（Ⅰ）知當a＜-1時，f（x）的單調減區(qū)間是（1，-a），
（1）當a=-

1

2

時，F'（x）=6（x-1）²≥0，F（x）在定義域上為增函數，不合題意；
（2）當a＞-

1

2

時，由F'（x）＜0得：1＜x＜2a+2，F（x）在（-∞，1]上為增函數，則在[a，1]上也為增函數，也不合題意；
（3）當a＜-

1

2

時，由F'（x）＜0得：2a+2＜x＜1，F（x）在[2a+2，1]上為減函數，如果g（x）在[a，-a]上為減函數，
則F（x）在[a，1]上為減函數，
則：2a+2≤a，∴a≤-2．
綜上所述，符合條件的a滿足[-3，-2]．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調區(qū)間以及根據函數的單調性研究函數的極值與對稱問題，是易錯題．