Question

將一枚正方體骰子先后擲兩次，所得點數(shù)分別為m，n，函數(shù)f（x）=

1

3

x3+

1

2

mx2+nx+3（x∈R）．
（1）若第一次得到的點數(shù)m=4，求函數(shù)f（x）=

1

3

x3+

1

2

mx2+nx+3與函數(shù)g（x）=3的圖象有三個交點的概率；
（2）求函數(shù)h（x）=f（x）-2nx在（

1

2

，+∞）上是增函數(shù)的概率．

Answer 1

考點：列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）與g（x）有三個交點得到，得到x（x²+6x+3n）=0有三個不同的解，即x²+6x+3n=0有兩個不同的解，根據(jù)判別式求出n的值，根據(jù)概率公式計算即可．
（2）先求導(dǎo)，得到h′（x）=x²+mx-n＞0，在（

1

2

，+∞）上恒成立，繼而求出m，n的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想，求出滿足條件的基本事件的個數(shù)，根據(jù)概率公式計算即可．

解答： 解：（1）當(dāng)m=4時，f（x）=

1

3

x³+2x²+nx+3，
∵f（x）與g（x）=3的圖象有三個交點，
∴

1

3

x³+2x²+nx+3=3有三個不同的解，
即x（x²+6x+3n）=0有三個不同的解，
∴x²+6x+3n=0有兩個不同的解，
∴△=36-12n＞0，解得n＜3，
∴n=1，2
∵第二次點數(shù)的基本事件有6個，
∴函數(shù)f（x）=

1

3

x3+

1

2

mx2+nx+3與函數(shù)g（x）=3的圖象有三個交點的概率P=

2

6

=

1

3

；
（2）∵h(yuǎn)（x）=f（x）-2nx=

1

3

x³+

1

2

mx²+nx+3-2nx=

1

3

x³+

1

2

mx²-nx+3，在（

1

2

，+∞）上是增函數(shù)，
∴h′（x）=x²+mx-n＞0，在（

1

2

，+∞）上恒成立，
∴

- m 2 ≤ 1 2 f( 1 2 )＞0

∴n＜

1

2

m+

1

4

畫出函數(shù)n=

1

2

m+

1

4

的圖象，如圖所示，
則滿足條件的點有9個，
而試驗發(fā)生包含的所有事件數(shù)是6×6=36，
∴函數(shù)h（x）=f（x）-2nx在（

1

2

，+∞）上是增函數(shù)的概率P=

9

36

=

1

4

點評：本題考查古典概型的概率問題以及函數(shù)的解得的個數(shù)以及恒成立的問題，培養(yǎng)了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運算能力，屬于中檔題．