已知函數(shù)f(x)=loga(x+1),若函數(shù)y=g(x)的圖象上任意一點P關(guān)于原點的對稱點Q的軌跡恰好是函數(shù)f(x)的圖象:
(1)寫出g(x)的解析式
(2)記F(x)=f(x)+g(x),討論F(x)的單調(diào)性
(3)若a>1,x∈[0,1)時,總有F(x)=f(x)+g(x)≥m成立,求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】
分析:(1)由已知可得函數(shù)f(x)=log
a(x+1)與函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于原點對稱,進而利用坐標(biāo)法,可得g(x)的解析式
(2)根據(jù)F(x)=f(x)+g(x),結(jié)合(1)的結(jié)論,求出F(x)的解析式,利用導(dǎo)數(shù)法,求出內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與復(fù)合函數(shù)同增異減的原則,可分析出F(x)的單調(diào)性
(3)若a>1,x∈[0,1)此時結(jié)合(2)的結(jié)論,可得函數(shù)為增函數(shù),若F(x)=f(x)+g(x)≥m恒成立,僅須F(x)的最小值,大于等于m即可.
解答:解:(1)設(shè)P(x,y)是函數(shù)y=g(x)圖象上的任意一點
則P關(guān)于原點的對稱點Q的坐標(biāo)為(-x,-y)
∵已知點Q在函數(shù)f(x)的圖象上
∴-y=f(-x),而f(x)=log
a(x+1)
∴-y=log
a(-x+1)
∴y=-log
a(-x+1)
而P(x,y)是函數(shù)y=g(x)圖象上的點
∴y=g(x)=-log
a(-x+1)=-log
a(1-x)
(2)F(x)=f(x)+g(x)=log
a(x+1)-log
a(1-x)=
,
則函數(shù)F(x)=
的定義域為(-1,1),
令h(x)=
,則h′(x)=
,
∵當(dāng)x∈(-1,1)時,h′(x)≥0恒成立
故h(x)=
在(-1,1)上單調(diào)遞增,
當(dāng)0<a<1時,y=log
at為減函數(shù),此時F(x)=
為減函數(shù),
當(dāng)a>1時,y=log
at為增函數(shù),此時F(x)=
為增函數(shù).
(3)由(2)得若a>1
當(dāng)x∈[0.1)時,F(xiàn)(x)=
為增函數(shù)
此時F(x)
min=F(0)=log
a1=0
∴m≤0
∴所求m的取值范圍:m≤0
點評:本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題,函數(shù)解析式的求法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用,難度中檔.