Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₂=5，S₅=55．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{

4

an2-1

}的前n項和T_n，試求T_n并證明不等式

1

2

≤T_n＜1成立．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列的前n項和,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，利用a₂=5，S₅=55求出首項與公差，即可求解a_n及S_n；
（Ⅱ）化簡

4

an2-1

，利用裂項法求出前n項和T_n，通過判斷前n項和T_n的單調(diào)性，求出最小值即可證明結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，
∵a₂=5，S₉=99，∴99=

9×(a1+a9)

2

=9a5，得a₅=11
∴3d=a₅-a₂=6，∴d=2，a₁=3-------------------------------------（4分）
∴a_n=2n+1-------------------------------------（6分）
（Ⅱ）bn=

4

a 2 n -1

=

4

4n(n+1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

------------------------------（9分）
∴Tn=b1+b2+…+bn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

＜1------------（11分）
又因?yàn)?span id="08oaoaw" class="MathJye">Tn+1-Tn=

1

(n+1)(n+2)

＞0，所以Tn＞Tn-1＞…＞T1=

1

2

所以

1

2

≤Tn＜1------------------------------------------------（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列求和，等差數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列的函數(shù)的特征，數(shù)列與不等式的關(guān)系，是中檔題．