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5.已知函數(shù)f(x)=x+1x,分別用定義法:
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)證明:函數(shù)f(x)=x+1x在(1,+∞)上是增函數(shù).

分析 (1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可.
(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可.

解答 解:(1)對(duì)于函數(shù)f(x),其定義域?yàn)閧x|x≠0},
因?yàn)閷?duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x都有:
f(-x)=-x-1x=-(x+1x)=-f(x)
所以,函數(shù)f(x)為奇函數(shù).
(2)證明:設(shè)x1,x2是區(qū)間(1,+∞)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且x1<x2
f(x1)-f(x2)=x1-x2+1x1-1x2=(x1-x2)•x1x21x1x2,
由x1<x2得x1-x2<0,而x1x2>1,
則  f(x1)-f(x2)<0
即f(x1)<f(x2),
因此,函數(shù)函數(shù)f(x)=x+1x在(1,+∞)上是增函數(shù).

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用,利用定義法是解決本題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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