Question

5．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$，分別用定義法：
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）證明：函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可．
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可．

解答 解：（1）對(duì)于函數(shù)f（x），其定義域?yàn)閧x|x≠0}，
因?yàn)閷?duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x都有：
f（-x）=-x-$\frac{1}{x}$=-（x+$\frac{1}{x}$）=-f（x）
所以，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）證明：設(shè)x₁，x₂是區(qū)間（1，+∞）上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=x₁-x₂+$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
由x₁＜x₂得x₁-x₂＜0，而x₁x₂＞1，
則  f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂），
因此，函數(shù)函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．