Question

計算下列定積分，并從幾何上解釋這些值分別表示什么
（1）

∫

0 -1

x³dx；
（2）

∫

1 -1

x³dx；
（3）

∫

2 -1

x³dx．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和微積分基本定理即可得出．
定積分

∫

b a

f(x)dx的幾何意義是：若f（x）≥0，x∈[a，b]，其幾何意義是曲線y=f（x），x=a，x=b，y=0圍成的曲邊梯形的面積；
若f（x）≤0，x∈[a，b]，其幾何意義是曲線y=f（x），x=a，x=b，y=0圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù)；
若f（x）在區(qū)間[a，b]上有正有負(fù)時，其幾何意義為曲線y=f（x）在x軸上方部分之下的曲邊梯形的面積取正號，曲線y=f（x）在x軸下方部分之上的曲邊梯形的面積取負(fù)號，構(gòu)成的代數(shù)和．

解答： 解：（1）∵（

1

4

x⁴）′=x³
∴

∫

0 -1

x³dx=（

1

4

x⁴）

|

0 -1

=-

1

4

；
定積分

∫

0 -1

x³dx的幾何意義指的是被積函數(shù)y=x³與直線x=-1，x=0，y=0所圍成的圖形的面積的相反數(shù)．
（2）∵（

1

4

x⁴）′=x³
∴

∫

1 -1

x³dx=（

1

4

x⁴）

|

1 -1

=0；
定積分

∫

0 -1

x³dx的幾何意義是曲線y=f（x）在x軸上方部分之下的曲邊梯形的面積取正號，曲線y=f（x）在x軸下方部分之上的曲邊梯形的面積取負(fù)號，構(gòu)成的代數(shù)和．
（3）∵（

1

4

x⁴）′=x³
∴

∫

2 -1

x³dx=（

1

4

x⁴）

|

2 -1

=

7

4

；
定積分

∫

2 -1

x³dx的幾何意義是曲線y=f（x）在x軸上方部分之下的曲邊梯形的面積取正號，曲線y=f（x）在x軸下方部分之上的曲邊梯形的面積取負(fù)號，構(gòu)成的代數(shù)和．

點(diǎn)評：本題主要考查定積分、定積分的幾何意義，熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和微積分基本定理是解題的關(guān)鍵．