Question

f（x）=mx-alnx-m，g（x）=

ex

ex

，其中m，a均為實數(shù)．
（1）求g（x）的極值．
（2）設a=-1，若函數(shù)h（x）=f（x）+xe^x+1•g（x）-m²lnx是增函數(shù)，求m的取值范圍．
（3）設a=2，若對任意給定的x₀∈（0，e]，在區(qū)間（0，e]上總存在t₁，t₂（t₁≠t₂），使得f（t₁）=f（t₂）=g（x_m），求m的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）對于第一問非常簡單，只需按求解極值的定義求解即可．
（2）由題意可得h′(x)=2x+m+

1-m2

x

=

2x2+mx+1-m2

x

≥0，對x∈（0，+∞）恒成立，討論二次函數(shù)在（0，+∞）上的單調性即可得出結論；
（3）通過第三問的條件，你會得到f（x）在區(qū)間（0，e]不是單調函數(shù)的結論，并要求f（x）的值域需包含g（x）的值域便可．接下來就是看怎樣讓f（x）的值域包含g（x）的值域，即能求出m的范圍．

解答： 解：（1）g′(x)=

e(1-x)

ex

，令g（x）=0，得x=1當x∈（0，1）時，
g'（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，g'（x）＜0，∵g（1）=1
∴y=g（x）的極大值為1，無極小值．
（2）因為a=-1，由題意，h（x）=x²+m（x-1）+（1-m²）lnx是增函數(shù)，
h′(x)=2x+m+

1-m2

x

=

2x2+mx+1-m2

x

≥0，對x∈（0，+∞）恒成立，
當-

m

4

≤0時，只需1-m²≥0，即0≤m≤1，當-

m

4

＞0時，只需1-m2-

m2

8

≥0，即-

2 2

3

≤m＜0綜上得，-

2 2

3

≤m≤1．
（3）由（1）知，當x∈（0，e]時，g（x）∈（0，1]，
由題意，當f（x）�。�0，1]的每一個值時，在區(qū)間（0，e]上存在t₁，t₂（t₁≠t₂）與該值對應．
a=2時，f(x)=m(x-1)-2lnx，f′(x)=m-

2

x

=

mx-2

x

，
當m=0時，f′(x)=-

2

x

＜0，f（x）單調遞減，不合題意，當m≠0時，x=

2

m

時，f'（x）=0，由題意，
f（x）在區(qū)間（0，e]上不單調，所以，0＜

2

m

＜e，
當x∈(0，

2

m

]時，f'（x）＜0，當(

2

m

，+∞)時，f'（x）＞0所以，
當x∈（0，e]時，fmin(x)=f(

2

m

)=2-m-2ln

2

m

，
由題意，只需滿足以下三個條件：①fmin(x)=f(

2

m

)=2-m-2ln

2

m

＜0②f（e）=m（e-1）-2≥1③?x0∈(0，

2

m

)使f（x₀）＞1
∵f(

2

m

)≤f(1)=0，所以①成立．由②f（x）=m（x-1）-2lnx→+∞，所以③滿足，
所以當m滿足

0＜ 2 m ＜e m≥ 3 e-1

即m≥

3

e-1

時，符合題意，故，m的取值范圍為[

3

e-1

，+∞)．

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值、最值等知識，考查學生的等價轉化思想的運用能力及運算求解能力，屬于難題．