若數(shù)列{an}的前n項和Sn是(1+x)n二項展開式中各項系數(shù)的和(n=1,2,3,…).
(1)求{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足b1=-1,bn+1=bn+(2n-1),且cn=
anbnn
,求數(shù)列{cn}的通項及其前n項和Tn
(3)求證:Tn•Tn+2<Tn+12
分析:(1)能利用an與Sn之間的關(guān)系得到an的通項公式.
(2)會根據(jù)遞推公式求出bn的通項公式,并根據(jù)bn與cn關(guān)系求通項公式及前n項和.
(3)兩式作差后根據(jù)其特點利用數(shù)學(xué)歸納法進行證明.
解答:解:(1)由題意Sn=2n,Sn-1=2n-1(n≥2),
兩式相減得an=2n-2n-1=2n-1(n≥2).
當(dāng)n=1時,2×1-1=1≠S1=a1=2
an=
2         (n=1)
2n-1   (n≥2)

(2)∵bn+1=bn+(2n-1),∴b2-b1=1,b3-b2=3,b4-b3=5,
bn-bn-1=2n-3.以上各式相加得:
bn-b1=1+3+5+…+(2n-3)=
(n-1)[1+(2n-3)]
2
=(n-1)2

∵b1=-1,∴bn=n2-2n
cn=
-2          (n=1)
(n-2)2n-1(n≥2)

∴Tn=-2+0×21+1×22+2×23+3×24+…+(n-2)2n-1
∴2Tn=-4+0×22+1×23+2×24+…+(n-2)2n
∴-Tn=2+22+23++2n-1-(n-2)2n=
2(1-2n-1)
1-2
-(n-2)2n

∴Tn=-2n+2+(n-2)2n=2+(n-3)2n
∴Tn=2+(n-3)2n.當(dāng)n=1時T1=-2也適合上式.
∴Tn=2+(n-3)2n
(3)證明:Tn•Tn+2-Tn+12=[2+(n-3)•2n]•[2+(n-1)•2n+2]-[2+(n-2)•2n+1]2
=4+(n-1)•2n+3+(n-3)•2n+1+(n-1)(n-3)•22n+2-[4+(n+2)(n+2)•22n+2+(n-2)•2n+3]
=2n+1[(n+1)-2n+1]
∵2n+1>0,∴需證明n+1<2n+1,用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:
①當(dāng)n=1時,1+1<21+1成立.
②假設(shè)n=k時,命題成立即k+1<2k+1
那么,當(dāng)n=k+1時,(k+1)+1<2k+1+1<2k+1+2k+1=2•2k+1=2(k+1)+1成立.
由①、②可得,對于n∈N*都有n+1<2n+1成立.
∴2n+1[(n+1)-2n+1]<0
∴Tn•Tn+2<Tn+12
點評:能利用an與Sn之間的關(guān)系得到an的通項公式,會根據(jù)遞推公式求出bn的通項公式,并根據(jù)bn與cn關(guān)系求cn的通項公式.也要會應(yīng)用錯位相減法求前n項和及會用數(shù)學(xué)歸納法證明.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)(n∈N*)都在函數(shù)y=log
12
x
的圖象上.
(Ⅰ)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,求證數(shù)列{an}為等比數(shù)列;
(Ⅱ)若數(shù)列{an}的前n項和為Sn=1-2-n,過點Pn,Pn+1的直線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形面積為cn,求使cn≤t對n∈N*恒成立的實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

以下有四種說法:
(1)若p∨q為真,p∧q為假,則p與q必為一真一假;
(2)若數(shù)列{an}的前n項和為Sn=n2+n+1,n∈N*,則an=2n,n∈N*;
(3)若f′(x0)=0,則f(x)在x=x0處取得極值;
(4)由變量x和y的數(shù)據(jù)得到其回歸直線方程l: 
y
=bx+a
,則l一定經(jīng)過點P(
.
x
, 
.
y
)

以上四種說法,其中正確說法的序號為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則下列命題:
(1)若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,則數(shù)列{Sn}也是遞增數(shù)列;
(2)數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列的充要條件是數(shù)列{an}的各項均為正數(shù);
(3)若{an}是等差數(shù)列(公差d≠0),則S1•S2…Sk=0的充要條件是a1•a2…ak=0.
(4)若{an}是等比數(shù)列,則S1•S2…Sk=0(k≥2,k∈N)的充要條件是an+an+1=0.
其中,正確命題的個數(shù)是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且有4Sn=an2+4n-1,n∈N*,
(1)求a1的值;
(2)求證:(an-2)2-an-12=0(n≥2)
(3)求出所有滿足條件的數(shù)列{an}的通項公式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點(x,y)是區(qū)域
x+2y≤2n
x≥0
y≥0
,(n∈N*)內(nèi)的點,目標(biāo)函數(shù)z=x+y,z的最大值記作zn.若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,且點(Sn,an)在直線zn=x+y上.
(Ⅰ)證明:數(shù)列{an-2}為等比數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列{Sn}的前n項和Tn

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